逆元
左右逆元の定義中に出てくる単位元に左右を指定するとどうなるのか
右逆元をもたせる右単位元
$ a\times1_R=a
$ a\times a_{R\to R}^{-1}=1_R
右逆元をもたせる左単位元
$ 1_L\times a=a
$ a\times a_{R\to L}^{-1}=1_L
マグマ$ (G,\times)が結合律を満たし、右逆元をもたせる右単位元を持つ場合、群になるらしい
つまり、右逆元をもたせる右単位元は両側逆元をもたせる両側単位元となる
$ 1_R\times a=1_{R}\times(a\times 1_R) $ \because右単位元の存在 $ =1_R\times a\times1_R$ \because結合律 $ =1_R\times a\times[a_{R\to R}^{-1}\times (a_{R\to R}^{-1})_{R\to R}^{-1}] $ \because右逆元を持たせる右単位元の存在 $ =1_R\times a\times a_{R\to R}^{-1}\times (a_{R\to R}^{-1})_{R\to R}^{-1}$ \because結合律 $ =1_R\times (a\times a_{R\to R}^{-1})\times (a_{R\to R}^{-1})_{R\to R}^{-1} $ \because結合律 $ =1_R\times 1_R\times (a_{R\to R}^{-1})_{R\to R}^{-1} $ \because右逆元を持たせる右単位元適用 $ =1_R\times(a_{R\to R}^{-1})_{R\to R}^{-1}$ \because右単位元適用 $ =(a\times a_{R\to R}^{-1})\times(a_{R\to R}^{-1})_{R\to R}^{-1}$ \because右逆元を持たせる右単位元の存在 $ =a\times a_{R\to R}^{-1}\times(a_{R\to R}^{-1})_{R\to R}^{-1}$ \because結合律 $ =a\times[a_{R\to R}^{-1}\times(a_{R\to R}^{-1})_{R\to R}^{-1}] $ \because結合律 $ =a\times1_R$ \because右逆元を持たせる右単位元適用 $ \therefore 1_R\times a=a
ここからは$ 1:=1_R,\ a_R^{-1}:=a_{R\to R}^{-1}とする。
$ a_R^{-1}\times a=a_R^{-1}\times(a\times1)$ \because右逆元の存在 $ =a_R^{-1}\times a\times1$ \because結合律 $ =a_R^{-1}\times a\times[a_R^{-1}\times(a_R^{-1})_R^{-1}] $ \because右逆元の存在 $ =a_R^{-1}\times a\times a_R^{-1}\times(a_R^{-1})_R^{-1}$ \because結合律 $ =a_R^{-1}\times (a\times a_R^{-1})\times(a_R^{-1})_R^{-1}$ \because結合律 $ =a_R^{-1}\times (1)\times(a_R^{-1})_R^{-1}$ \because右逆元適用 $ =a_R^{-1}\times(a_R^{-1})_R^{-1}$ \because単位元適用 $ \therefore a_R^{-1}\times a=1
マグマ$ (G,\times)が結合律を満たし、右逆元をもたせる左単位元を持つ場合、群にはならないらしい
上の証明の中で左右が絶妙に噛み合ってしまいそう