位数に関する積の公式
$ Gを有限群、$ H\preceq Gとすると$ \#H\ |\ \#G $ H\preceq Gは$ Hが$ Gの部分群であることを表す 定理
条件
$ x,y\in Gの位数$ {\rm ord}\,x,{\rm ord}\,yはともに有限 1. $ xy=yx
2. $ \left<x\right>\cap\left<y\right>=\{1_G\}
結果
$ {\rm ord}(xy)={\rm lcm}({\rm ord}\,x,{\rm ord}\,y)
系
$ \gcd({\rm ord}\,x,{\rm ord}\,y)=1の場合
$ xy=yxであれば$ {\rm ord}(xy)=({\rm ord}\,x)({\rm ord}\,y)
2は勝手に成り立つ
$ \becauseラグランジュの定理より$ |\left<x\right>\cap\left<y\right>|=\gcd({\rm ord}\,x,{\rm ord}\,y) 証明
$ (xy)^n=1_Gなる整数$ n>0を考えると、 $ 1_G=(xy)^n=x^ny^n$ \because1より
$ x^n=y^{-n}\in\left<x\right>\cap\left<y\right>=\{1_G\}$ \because2より
$ x^n=y^n=1_G
$ \therefore{\rm ord}(xy)={\rm lcm}({\rm ord}\,x,{\rm ord}\,y)