ラグランジュの定理
定理
$ Gを有限群とし、$ H\preceq Gとすると $ |G|=[G:H]|H| が成立
$ [G:H]=|G/H| は$ Gにおける$ Hの指数 証明
$ H=\{h_j|j\in\N_{\le m}\} とすると
左剰余類は$ aH=\{ah_j|j\in\N_{\le m}\} このとき$ |aH|=|H|=m
$ \because$ f(h)=ahは全単射
$ \because
単射: $ ah_i=ah_j\Rightarrow h_i=h_j
全射: $ f(H)=aH
$ ^{\forall i,j\in\N_{\le n}}[i\ne j\Rightarrow a_i H\cap a_jH=\varnothing]
$ G/H=\{a_iH|i\in\N_{\le n}\}
$ G=\bigoplus_{i=1}^k a_iH
$ |G|=k|H|=|G:H||H|