演習問題1-1.
Statement (formal)
1. $ \forall S(n)\in\mathbb{S}. $ 114514\nmid S(n).
2. $ \forall S(n)\in\mathbb{S}. $ 57\nmid S(n).
なお, 動画中に存在する倍数法則一覧を用いてもよい.
Proof
1. 任意のSNNN数は奇数であるため, 偶数114514で割り切れることはない.
2. $ 57 = 3\times 19である. 倍数法則(18n+5番目のSNNN数は19を約数にもつ)より$ \forall k\in\mathbb{N}. $ 19\mid S(18k+5). である. ところが$ 18k+5 \equiv 2\pmod 3より$ \forall k\in\mathbb{N}. $ 3\nmid (18k+5). である. このため任意のSNNN数は3, 19の両方で割り切れることはない. $ \Box 演習問題1-2.
Statement (formal)
1. $ f\colon\mathbb{N}\ni x\mapsto 10x + 7\in\mathbb{N}. $ \forall x, y, z\in\mathbb{N}. $ \gcd(10, z) = 1\land (f(x)\equiv f(y)\pmod z\implies x\equiv y \pmod z).
2. $ \forall S(n)\in\mathbb{S}. $ \exists S(m)\in\mathbb{S}. $ S(n)\mid S(m).
Proof
1. $ f(x) \equiv f(y)\pmod z \iff 10(x - y)\equiv 0\pmod z \iff x - y\equiv 0\pmod z.
演習問題1-3.
Statement (formal)
1. $ \forall n\in\mathbb{N}. $ S_{11}(n)\equiv S_{17}(n)\pmod 6.
2. $ \mathbb{S}_{17}\cap\mathbb{P} = \lbrace\,3\,\rbrace .
3. $ X := \lbrace\,a\mid a\in\mathbb{N}.\ \exists n\in\mathbb{N}.\ \lvert\mathbb{S}_a\cap\mathbb{P}\rvert\leq n\,\rbrace. $ \forall n\in\mathbb{N}. $ n\lt \lvert X\rvert.
Proof
1. Lem. A (1.)より成立
2. Lem. A (2.)より成立.
3. $ Y:= \lbrace\,6k\mid k\in\mathbb{N}\,\rbraceとおく. このとき$ Y\subseteq Xかつ$ \forall n\in\mathbb{N}.\ n\lt \lvert Y\rvert. を示せば従う.
Lem. A (2.)より$ \forall a\in Y. $ \lvert\mathbb{S}\cap\mathbb{P}\rvert = \lvert\lbrace\,3\,\rbrace\rvert = 1. よって$ Y\subseteq X.
定義より明らかに$ \lvert Y\rvert = \lvert\mathbb{N}\rvertである. このことから$ \forall n\in\mathbb{N}.\ n\lt \lvert Y\rvert. $ \Box
Lem. A (formal)
1. $ \forall a\in\mathbb{N}. $ 6\mid (a-11)\implies \forall n\in\mathbb{N}.\ S_{11}(n)\equiv S_a(n)\pmod 6.
2. $ \forall a\in\mathbb{N}. $ 6\mid (a-11)\implies \mathbb{S}_{a}\cap\mathbb{P} = \lbrace\,3\,\rbrace.
Proof
1. $ \exists k\in\mathbb{N}. $ a = 6k+11. である.
$ n = 0のとき: $ S_{11}(0) - S_a(0) \equiv 3 - 3 \equiv 0\pmod 6
$ nで成立を仮定, $ n+1のとき:
$ \begin{aligned}S_{11}(n+1) - S_a(n+1) &\equiv 11S_{11}(n)-7 - ((6k+11)S_a(n) - 7)\cr&\equiv -6k(S_{11}(n) - S_a(n))\cr&\equiv 0\pmod 6 \end{aligned}
数学的帰納法より成立.
2. 11進SNNN数におけるSNNN予想 (1.)より$ \forall n\in\mathbb{N}. $ (2\mid n\implies 3\mid S_{11}(n))\land( 2\nmid n\implies 2\mid S_{11}(n)). また(1.)より$ \forall n\in\mathbb{N}. $ \exists k\in\mathbb{N}. $ S_a(n) = S_{11}(n)+6k.
よって$ \forall n\in\mathbb{N}に対し$ 2\mid S_a(n) \iff 2\mid(S_{11}(n) + 6k)\iff 2\mid S_{11}(n)かつ$ 3\mid S_a(n) \iff 3\mid(S_{11}(n) + 6k)\iff 3\mid S_{11}(n)である.
これゆえ$ \forall n\in\mathbb{N}に対して$ 2\mid n\implies 3\mid S_a(n)かつ$ 2\nmid n\implies 2\mid S_a(n)が成り立つ.
$ X := \lbrace\,S_{a}(2k)\mid k\in\mathbb{N}\,\rbrace, $ Y := \lbrace\,S_{a}(2k+1)\mid k\in\mathbb{N}\,\rbrace. とする. $ \mathbb{S}_a = X\cup Yかつ$ X\cap Y = \emptyset. であるから, $ (X\cap \mathbb{P})\cup (Y\cap\mathbb{P}) = \lbrace\,3\,\rbraceを示せば十分である.
以下, 判別式$ D = 3a+4が0より大きいことから, 一般化SNNN数 Prop. 1 (1.)より狭義単調増加性を仮定する. $ X\cap\mathbb{P} = \lbrace\,3\,\rbrace
$ S_{a}(0) = 3は素数だから$ \supseteqはよい.
$ \forall k\in\mathbb{N}. $ 0\lt k\implies (S_{a}(0) = 3\lt S_{a}(2k))\land (3\mid S_{a}(2k)). である. 即ち$ 1\leq kの場合$ S_{a}(2k)は3を約数に持つ3よりも大きい自然数であるから合成数. このため素数であるならば$ k = 0である.
$ Y\cap\mathbb{P} = \emptyset
(2.)より$ \forall k\in\mathbb{N}. $ 0\lt k\implies (S_{a}(1) = 51\lt S_{a}(2k+1))\land (2\mid S_{a}(2k+1)). $ Yに含まれる元で最も小さいものは$ S_{a}(1) = 51であり, その他の元はすべてこれより大きいと同時に2を約数にもつ. したがって, いずれの元も2を約数に含む合成数である. $ \Box