一般相対論
Einsteins's Field Equations of General Relativity Explained
https://www.youtube.com/watch?v=UfThVvBWZxM
Einsteins Field Equations https://www.youtube.com/watch?v=foRPKAKZWx8
その1
三平方の定理からブラックホールの数式を考察する
三平方に、
無限小→極座標→3次元→曲がった空間の効果→時間の項と付け加えてブラックホールの式
その2
無限小にする
要するに局所化する
なぜなら、空間の歪み具合は場所によって異なるので
その3
ブラックホールは丸いので、極座標にしたい
その4
歪んだ空間になると線素を表す数式が複雑になる
線素の一般形を考える
相対性理論では時間を0番目にもっていく(ct)
一般化することで線素をかっこよくかけた
その5
極座標変換についての補足
その6
3次元極座標
その7
三角比、三角関数
その8
微分について
曲線は直線の集合
二次元球面に接するのは面
これを三次元で考えると、接空間となる（自由度は3つ）
三次元空間を、三次元ユークリッド空間で近似的に捉える
そう捉えられると、特殊相対性理論などが適用できる
その9
偏微分
その10
全微分
「特殊および一般相対性理論」 どっかのPDF
「一般相対性理論」 どっかのPDF
1章 概観
ガリレイ変換
ガリレイの相対性原理
特殊相対論
相対性原理と光速度不変の原理から２つの慣性系を結ぶ関係式を求める
一般相対論
加速度系まで含めた一般の座標変換を扱うにはさらなる拡張が必要
また重力は他の力とは異なる
空間の各点で局所慣性系をとり、それらを貼り合わせた結果、曲がった空間となる
一般相対論
ブラックホール
宇宙論
重力波
超弦理論
GNSS
2章 多様体とテンソル場
多様体
多様体は局所的にユークリッド空間とみなせるような図形のこと
多様体上のベクトル
多様体上では空間の変位としてベクトルを定義することができない
したがって、多様体上のある点近傍で、無限小変位として接ベクトルを定義し、その接ベクトルのなす接ベクトル空間の性質について学ぶ
テンソルと計量テンソル
変位ベクトルの概念からテンソルの概念を導くことができる
多くの物理量は変位に線型に依存する
磁場はベクトル、もっと正確に言えば双対ベクトルと考えることができる
双対ベクトルは、空間の変位のベクトルの基底に伴う３つの量の集合と定義できる
空間変位ベクトルに線型に依存するが、１つ以上のベクトルに依存するものとして応力テンソルなどがある
有限次元ベクトル空間に対して双対空間を定義して、それを利用して多重線型写像としてテンソルを定義する
計量の概念は直感的には無限小変位と関係する無限小2乗距離のようなもの
抽象添字記法
高階のテンソルは多くのベクトルと双対ベクトルの関数
3章 曲率
曲率の直観的な概念は3次元ユークリッド空間に埋め込まれた2次元曲面からきているが計量gabを持つ時空間の多様体Mは高次元多様体に自然には埋め込まれていない
よって高次元空間への埋め込みなしに任意の多様体に当てはまる曲率の内在的な概念を定義したい
そのような曲率の概念は平行移動で定義できる
曲線に沿ってベクトルがどのように平行移動するか調べれば良い
多様体として構造を与えただけでは平行移動を自然に定義できないので平行移動の定義には多様体の構造以上のものが要求される
微分演算子と平行移動
多様体M上の微分演算子(共変微分)は滑らかなテンソル場を別のタイプのテンソル 場に移す写像である
曲率
平行移動の経路の依存性を曲率の概念を定義するのに用いることができる
双対ベクトル場に複数の微分操作を続けて施した時に交換しないことからRiemann曲率テンソルを定義することで始める
測地線
直観的には測地線は最も短い曲線である
曲率の計算方法
座標成分法
正規直交基底法
4章 アインシュタイン方程式
相対論以前の空間の幾何学
デカルト座標
空間は平坦なRiemann計量が定義されている多様体R3である
特殊相対論
時間が座標に入った
時空間の計量が定義される
Lorentz符号数の平坦な計量のR4多様体
特殊相対論では連続的な物質分布はストレスエネルギー運動量テンソルと呼ばれる対称テンソルで記述される
一般相対論
特殊相対論で前提にされていたのとは異なり、時空間計量は平坦ではなく、重力場で自由落下する物体の世界線は単に曲がった時空間計量の測地線にすぎない
重力を力の場として記述する意味のある方法を我々は何も持たない
一般相対論では時空間はローレンツ計量が定義されている多様体Mである
一般共変性原理が基本
時空間はその上にローレンツ計量が定義された多様体M
gabの曲率は空間の物質分布とEinstein方程式で関係づけられる
重力の線形化
重力の弱い近似を扱う
線形近似では一般相対論は質量のないスピン2の場の理論の帰着する
重力が弱い時はNewton重力の基礎方程式に一致する
5章 一様等方宇宙
一様性と等方性
宇宙論の観点からは過去の光円錐の一部の情報をもたらしているだけ
一様で等方な宇宙の動力学
時空間の計量をEinstein方程式に代入して宇宙の動力学的発展についての予言を求めることが目標
一般相対論は宇宙はビッグバンではじまったという観点に行きつく
宇宙の赤方偏移；地平線
宇宙膨張の最も直接的な観測的証拠は離れた銀河のスペクトル線の赤方偏移に由来している
我々の宇宙の進化
宇宙はその歴史を通して、Robertson-Walker解でよく記述される
6章 シュワルツシルト解
シュワルツシルト解の導出
静的で級対称な物体外部の重力場を記述するEinstein方程式の全ての解を探す