数学的帰納法
mathematical induction
自然数に関する命題$ P(n) が全ての自然数$ n で成り立つことを示す $ P(1) が成り立つことを示す
任意の自然数$ k に対して$ P(k) \implies P(k+1) が成り立つことを示す
$ P(k) の成立を仮定して、$ P(k+1) との関係が成り立つことを示す
具体から始めてn次に拡張する方法で通る道？あんも.icon
$ P(k) \implies P(k+1) を確認していないから不十分そう
$ S_n = \frac{n(n+1)}{2} がすべての自然数$ n で成り立つことを示す
$ n=1 に対して、$ S_1 = 1 となり成り立つ
$ S_nk = \frac{k(k+1)}{2} が成り立つと仮定する
このとき、両辺に$ (k+1) を加えると:
$ S_k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(n+k)}{2}
これは仮定した式において$ k を$ k+1 に置き換えたものにほかならない
よって$ S_n = \frac{n(n+1)}{2} はすべての自然数で成り立つ$ \square