三角関数の加法定理をオイラーの公式から導く

三角関数の加法定理をオイラーの公式から導く:

オイラーの公式より

$ \tag{1}e^{i(\alpha+\beta)}=\cos{(\alpha+\beta)}+i\sin{(\alpha+\beta)}

を得る。

また、指数法則とオイラーの公式から、

$ e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}

$ =(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})(\cos{\beta}+i\sin{\beta})

$ \tag{2}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}+i(\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta})

を得る。

$ \cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}

$ \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}