フーリエ変換

$ \cos{\frac{n\pi}{L}x}=\frac{{e^{i\frac{n\pi}{L}x}+{e^{-i\frac{n\pi}{L}x}}}}{2}

$ \sin{\frac{n\pi}{L}x}=\frac{{e^{i\frac{n\pi}{L}x}-{e^{-i\frac{n\pi}{L}x}}}}{2i}

$ c_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^Lf(x)e^{-i\frac{n\pi}{L}x}dx

より、フーリエ級数の式は次のように表せる。

$ f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{-i\frac{n\pi}{L}x}

これを用いるとフーリエ変換の式を導出できる

$ f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt