オイラー法
Euler method
$ \begin{cases}\frac{\mathrm{d}\bm{u}}{\mathrm{d}t}=f(t, \bm{u}) \\ \bm{u}(t_0)=\bm{u}_0\end{cases}と定義された微分方程式に対して $ \bm{u}_{n+1}= \bm{u}_n+\Delta t f(t_n,\bm{u}_n)
導出
$ \begin{cases}\frac{\mathrm{d}\bm{u}}{\mathrm{d}t}=f(t, \bm{u}) \\ \bm{u}(t_0)=\bm{u}_0\end{cases}と定義する。
$ \bm{u}(t + \Delta t) を$ t のまわりでテイラー展開すると $ \bm{u}(t + \Delta t) = \bm{u}(t)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u(t)\Delta t+\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\bm{u}(t)(\Delta t)^2+O(\Delta t^3)。
定義と項をまとめることにより
$ \bm{u}(t + \Delta t) = \bm{u}(t)+f(t, \bm{u})\Delta t+O(\Delta t^2) 。
線形近似により
$ \bm{u}(t+\Delta t) = \bm{u}(t)+\Delta tf(t, \bm{u}) \Box