数理モデルを解く方法
現象や実験を、理想化や単純化よってモデル化して、理論的に理解したい、というモチベーション
解析方法は複数ある
数理解析
解析的な解法
手を使った計算
数値解法的にも実装できることが多い
無限の概念を正しく扱える
問題を抽象化しやすい
数値解析
数値解法
単純な繰り返し操作
人の手よりも速く行えるのが強力
無限の概念を正しく扱いにくい
原理的な弱点であるが、注意して使えばよいので致命的ではない
なんでも使って、理解を深められたらよい
連立線形方程式
物理現象をモデル化した偏微分方程式を数値的に解く場合は、連立線形方程式に帰着されることが多い
直接法
数値解法的にも実装できる
固有値の分布を前処理でいい感じにする、前処理付き共役勾配法もある
より高速に解を得ることができる
反復法
素朴な方法
解によっては収束しない場合がある
収束が遅いが、他の解法で利用する初期値を得るのにも使える
古典的な方法
複素数の範囲でも成り立つ
導関数と初期値を1つを与えるだけで利用できる
導関数を求めるために解析的な操作が必要
初期値を2つを与えるだけで利用できる
導関数が不要
ニュートン-ラフソン法より収束が少し遅い
が、十分高速
複素数解を得る方法
反復法・ニュートン-ラフソン法・セカント法は複素数の範囲でも成り立つ
Müller method
数値微分・数値積分
解の存在を調べる
PDE・ODE基礎理論
解の大まかな挙動を調べる
力学系
数値解を調べる
数値解析
一般解の形を知る
求積法