フーリエ級数展開

前提条件

$ f(t)は周期$ Tの周期関数とする。つまり$ f(t+T) = f(t)とする。

基本角周波数$ \omega_0 = 2 \pi / Tとする。

三角関数による級数展開

$ \cosと$ \sinによる分解

$ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left ( a_n \cos (n \omega_0 t) + b_n \sin (n \omega_0 t) \right )

$ a_n = \frac{2}{T}\int_{\theta}^{\theta + T} f(t) \cos (n \omega_0 t) {\rm d}t

$ b_n = \frac{2}{T}\int_{\theta}^{\theta + T} f(t) \sin (n \omega_0 t) {\rm d}t

振幅と偏角による分解

$ f(t) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n \omega_0 t + \theta_n)

$ A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}

$ \theta_n = -\arctan \frac{b_n}{a_n}

NOTE

$ a_0/2 のことを$ a_0 と定義する教科書もある。

指数関数による級数展開

$ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n {\rm e}^{jn\omega_0 t}

$ c_n = \frac{1}{T}\int_{\theta}^{\theta + T} f(t) {\rm e}^{-jn\omega_0 t} {\rm d}t

$ c_n を線スペクトルや複素フーリエ係数、$ |c_n| を振幅スペクトル、$ \arg c_n を位相スペクトルという。

展開係数の性質

$ |c_n| = |\bar{c_n}|

$ \arg c_n = - \arg \bar{c_n}

展開係数の関係

$ a_n, b_nから$ c_n

$ n > 0に対して

$ c_n = \frac{a_n - j b_n}{2}

$ c_0 = \frac{a_0}{2}

$ c_{-n} = \bar{c_n} = \frac{a_n + j b_n}{2}

$ a_n, b_nから$ A_n, \theta_n

$ A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}

$ \theta_n = -\arctan \frac{b_n}{a_n} (正負逆の教科書もある)

$ c_nから$ a_n, b_n

$ a_n = c_n + \bar{c_n} = 2{\rm Re} (c_n)

$ b_n = j(c_n - \bar{c_n}) = 2{\rm Re} (jc_n) = -2 {\rm Im}(c_n)

$ c_nから$ A_n, \theta_n

$ A_n = |c_n| + |\bar{c_n}| = 2 |c_n|

$ \theta_n = \arg c_n

$ A_n, \theta_nから$ c_n

$ c_n = \frac{A_n}{2} {\rm e}^{j\theta_n}

$ A_n, \theta_nから$ a_n, b_n

$ a_n = A_n \cos (n\omega_0 t)

$ b_n = -A_n \sin (n\omega_0 t)