フーリエ変換
前提条件
フーリエ変換対
$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t){\rm e}^{-j\omega t} {\rm d}t
$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) {\rm e}^{j\omega t} \rm d \omega
NOTE
定義によって逆変換の方がマイナスになることがある。
このScrapboxは特に断らない限り順変換をマイナスとする。「行きはマイナス」
空間フーリエ変換では平面波の位相が$ \omega t - \bm k \cdot \bm a + \phi の形をしていることから、順変換をプラスにすることがある。ややこしいので、この場合は都度注意を入れることにする。 NOTE
定義によって$ 2\pi がついたりつかなかったりする。
このScrapboxは特に断らない限り上記の定義と約束する。
NOTE
$ F(\omega) を複素振幅スペクトル密度という(今井情報理論) 導出(雰囲気のみ。極限操作が厳密でないので注意)
フーリエ級数展開で$ T \rightarrow \inftyとして、区分求積法に帰着させる。フーリエ級数展開より、 $ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n {\rm e}^{jn\omega_0 t}
$ c_n = \frac{1}{T}\int_{\theta}^{\theta + T} f(t) {\rm e}^{-jn\omega_0 t} {\rm d}t
$ \theta = -T/2として積分範囲を対称にしておく。これと$ \omega_0 = 2 \pi / Tより
$ c_n = \frac{\omega_0}{2\pi}\int_{-T/2}^{T/2} f(t){\rm e}^{-jn\omega_0 t} {\rm d}t
この第二式を第一式に代入すると($ tが被るので積分変数を$ sに変更していることに注意)、
$ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left ( \frac{\omega_0}{2\pi}\int_{-T/2}^{T/2} f(s){\rm e}^{-jn\omega_0 s} {\rm d}s \right ) {\rm e}^{jn\omega_0 t}
これを整理して、
$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left ( \int_{-n\pi/n\omega_0}^{n\pi/n\omega_0} f(s){\rm e}^{-jn\omega_0 s} {\rm d}s \right ) {\rm e}^{jn\omega_0 t} \omega_0
ここで、
$ F_n(x) = \int_{-n\pi/x}^{n\pi/x} f(s){\rm e}^{-jxs} {\rm d}s
とおくと、
$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n(n\omega_0) {\rm e}^{jn\omega_0 t} \omega_0
$ T \rightarrow \inftyつまり$ \omega_0 \rightarrow 0の極限を取ると、
$ F_n(x) \rightarrow F(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(s){\rm e}^{-jxs} {\rm d}s
$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega_0) {\rm e}^{j\omega_0 t} \rm d \omega_0
$ F_nを$ Fに飛ばしてから区分求積しているが、この操作が許されるのか不明。結果の式は合うので思い出す用途には使える。
参考