累乗と対数と累乗根の代替記法

問題意識

累乗と log（対数）と累乗根の記法は、対称性がなくて、読みづらい。

3Blue1Brownが代替の記法を提案している。

ref. 3Blue1Brown - Triangle of Power

https://youtu.be/sULa9Lc4pck

記法

累乗, exponentiation

$ 2^3=8 \ \equiv \ {}_{2}^{}{\overset{3}{\bigtriangleup}}_8

$ {}_{2}^{}{\overset{3}{\bigtriangleup}}=8

$ {}_{b}^{}{\overset{p}{\bigtriangleup}}

対数, log, logarithm

$ \log_2(8)=3 \ \equiv \ {}_{2}^{}{\overset{3}{\bigtriangleup}}_8

$ \ {}_{2}{{\bigtriangleup}}_8 = 3

冪根、累乗根, root extraction of nth root

$ \sqrt[3]{8}=2 \ \equiv \ {}_{2}^{}{\overset{3}{\bigtriangleup}}_8

$ {\overset{3}{\bigtriangleup}}_8 = 2

平方根:$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} λx\left(\tri{}{2}{x}\right)

三項関係

$ {}_{x}^{}{\overset{y}{△}}_{z}

$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{\rm base}{\rm power}{\rm radicand} ≡ \tri{b}{p}{r}

$ ≡ {b}^{p} = r

$ ≡ \log_{b}(r) = p

$ ≡ \sqrt[p]{r} = b

性質

逆演算の相殺:$ f^{-1}(f(x)) = x \iff f^{-1} \circ f = \mathrm{id}

note: 拡大すると同じ項が相殺する、と思える。

identity:$ x^{\log_x(z)}=z \ \equiv \ {}_{x}{\overset{{}_{x}{{\bigtriangleup}}_z}{\bigtriangleup}} = z

identity:$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{a}{\bullet}{} \,\circ\, \tri{a}{}{\bullet} = \mathrm{id}

identity:$ \log_x(x^y)=y \ \equiv \ {}_{x}{{\bigtriangleup}}_{{}_{x}^{}{\overset{y}{\bigtriangleup}}} = y

identity:$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{a}{}{\bullet} \,\circ\, \tri{a}{\bullet}{} = \mathrm{id}

identity:$ \sqrt[y]{x^y} = {\overset{y}{\bigtriangleup}}_{{}_{x}^{}{\overset{y}{\bigtriangleup}}} = x

identity:$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{}{a}{\bullet} \,\circ\, \tri{\bullet}{a}{} = \mathrm{id}

identity:$ {\sqrt[y]{z}}^{y} = {}_{{\overset{y}{\bigtriangleup}}_{z}}^{}{\overset{y}{\bigtriangleup}} = z

identity:$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{\bullet}{a}{} \,\circ\, \tri{}{a}{\bullet} = \mathrm{id}

identity:$ \sqrt[\log_x(z)]{z} = z^{1/\log_x(z)} = x^{\log_x(z)/\log_x(z)} = x = {\overset{{}_{x}{{\bigtriangleup}}_{z}}{\bigtriangleup}}_{z}

identity:$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{}{\bullet}{a} \circ \tri{\bullet}{}{a} = \mathrm{id}

identity:$ \log_{\sqrt[y]{z}}(z) = y = {}_{{\overset{y}{\bigtriangleup}}_{z}}^{}{{\bigtriangleup}}_{z}

$ = \log_{{z}^{1/y}}(z) = \frac{\log(z)}{\log({z}^{1/y})} = \frac{\log(z)}{\log({z}){1/y}} = \frac{1}{1}y .

identity:$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{\bullet}{}{a} \circ \tri{}{\bullet}{a} = \mathrm{id}

加法・乗法

$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{\text{const}}{+}{×}

$ a^x a^y = a^{x+y} \equiv {}_{a}^{}{\overset{x}{\bigtriangleup}}_{} \cdot {}_{a}^{}{\overset{y}{\bigtriangleup}}_{} = {}_{a}^{}{\overset{x+y}{\bigtriangleup}}_{}

準同型

$ \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) \equiv {}_{a}^{}{\overset{}{\bigtriangleup}}_{xy} = {}_{a}^{}{\overset{}{\bigtriangleup}}_{x} + {}_{a}^{}{\overset{}{\bigtriangleup}}_{y}

おなじく準同型

$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{\text{const}}{-}{÷}

$ a^x/a^y = a^{x-y} \equiv {}_{a}^{}{\overset{x}{\bigtriangleup}}_{} / {}_{a}^{}{\overset{y}{\bigtriangleup}}_{} = {}_{a}^{}{\overset{x-y}{\bigtriangleup}}_{}

$ \log_a(x/y) = \log_a(x) - \log_a(y) \;≡\; \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{a}{}{x/y} = \tri{a}{}{x} - \tri{a}{}{y}

$ {}_{\times}^{}{\overset\text{const}{\bigtriangleup}}_{\times}

$ x^a y^a = (xy)^a \ ≡ \ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{x}{a}{} \tri{y}{a}{} = \tri{xy}{a}{}

$ \sqrt[a]{x} \sqrt[a]{y} = \sqrt[a]{xy} \ ≡ \ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{}{a}{x} \tri{}{a}{y} = \tri{}{a}{xy}

$ {}_{\times}^{}{\overset{\parallel}{\bigtriangleup}}_\text{const}

where $ x \parallel y ≔ \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} ≡ ¬(¬{x} + ¬{y}) ≡ \overline{\bar{x}+\bar{y}}

ref. parallel operator ∥ Parallel (operator) - Wikipedia

並列演算子

$ \log_x(a) \parallel \log_y(a) = \log_{xy}(a) \;≡\; \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{x}{}{a} \parallel \tri{y}{}{a} = \tri{xy}{}{a}

$ \sqrt[x]{a} \sqrt[y]{a} = \sqrt[x∥y]{a} \ ≡ \ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{}{x}{a} \tri{}{y}{a} = \tri{}{x∥y}{a}

その他

$ (a^x)^y = a^{xy} \ ≡ \ {}_{{}_{a}^{}{\overset{x}{△}}_{}}^{}{\overset{y}{△}}_{} = {}_{a}^{}{\overset{x⋅y}{△}}_{}

視覚的には、左下のを吸収する

$ x^{-a} = \frac{1}{x^a} \;≡\; {}_{x}^{}{\overset{-a}{\bigtriangleup}} = \frac{1}{{}_{x}^{}{\overset{a}{\bigtriangleup}}}

テッペンの -1 は、$ (•)^{-1} になる。

$ \sqrt[a]{b}=c=b^{1/a} \;≡\; \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{}{a}{b} = c = \tri{b}{1/a}{}

両辺を a乗$ {}_{\bullet}^{}\overset{a}{△}すると b=b、つまり id。

テッペンの逆数をとると、底辺が左右反転する。

$ \log_b(x^a)=a \log_b(x) \ \equiv \ {}_{b}{{\bigtriangleup}}_{{}_{x}^{}{\overset{a}{\bigtriangleup}}} = a\,{}_{b}{{\bigtriangleup}}_{x} = {}_{b}{{\bigtriangleup}}_{x}\,a

視覚的には inner △ が（回転しつつ）拡大した様に見える。

$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{}{x}{a}/\tri{}{y}{a} = \frac{\tri{}{x}{a}}{\tri{}{y}{a}} = \tri{}{x}{a}\cdot\tri{\tri{}{y}{a}}{-1}{} = \tri{}{x}{a}\tri{}{-y}{a} = \tri{}{x∥-y}{a}

$ \log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \ ≡ \ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{a}{}{b} = \frac{\tri{c}{}{b}}{\tri{c}{}{a}}

+90°回転して上下に置いた様に見える。

派生: $ \log_a(b) = \log_{a^m}(b^m) \ ≡ \ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{a}{}{b} = \tri{a^m}{}{b^m}

恒等式

$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{a}{1}{a}

$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{1}{n}{1}

$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{e}{iθ}{\cos θ + i\sin θ}

オイラーの等式

$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{c}{a}{b} = \tri{b}{1/a}{c}

物理

形式的冪級数について

$ \newcommand{\tri}[3]{{}_{#1}^{}{\overset{#2}{△}}_{#3}} \tri{x}{y}{} = \exp(y \ln(x)) = \tri{e}{y \cdot \tri{e}{}{x}}{}

x だけ下に降りてきた変形だと見れる。