完全加法族
別名が多い
complete additive family of sets? wint.icon
定義
完全加法族Sとは、
条件
全事象 ∈ S
S ≠ ∅
Sは power set of X の部分集合（つまり集合族）である。
$ S ⊂ \mathcal{P}(X) ≅ 2^X ≅ X → 2
まだ 束かは わからない。
ℵ₁-完備∪（可算無限、countable）に閉じてる。
i.e. ℵ₁-完備∨-半束
ω-complete?
∅ ∈ S
∵ 単位元
∩も同様
optional
De Morgan 則から導出できる
$ \varnothing^∁ = X ∈ S
性質
合併（交叉）は可算回で定義されてる。
入力が可算濃度である。
cf. 可算加法族
⊂ 有限加法族（aka. 集合体、en: field of sets; set algebra over X）⊂ 冪集合ブール代数 呼び方は単に加法族で良いのでは？wint.icon
可補束に なるはず。
ℵ₁-完備可補∨-半束
完備だと強すぎるらしい。wint.icon
可測空間に ならない？
ヘタすると、自然な確率測度が定義できなくなる おそれが ありそう。
ℵ₁-完備ブール代数のはず
power set そのものは離散完全加法族と呼ぶ。
構造
台集合 X と合わせた2つ組で可測空間 (X, F) を なす。 疑問
完備ブール代数では？wint.icon
同じ質問
特に完備についての疑問
ℵ₁-complete に なりそう。
近いが完備とは言ってない。
A σ-algebra is an intermediate notion, since (…) we require that it be closed under unions and intersections of countable families.
非可算個の join/meet を許してはいない。
ℵ₁-complete に制限しないと いけなさそう。
つまり ℵ₁1-完備ブール代数には なりそう。
濃度は？
つまり、部分集合の濃度も非可算（> 可算濃度）に なり得る。
順序完備化、特に ω-完備は ℵ₁1-完備と同等なのか？
部分集合 S をとる。
有限∨でSの閉包を取ると、 directed subset を構成できる。
∨で自由生成したら鎖の集合が つくれる。
初期状態が anti-chain という保証は ないが、問題にも ならない。
ω-完備を仮定すれば、 supremum（上限）が取れる。
これがℵ₁1-完備なときの上限に できるはず？
逆に鎖の集合があるとして、降鎖条件が成立するから、下からたどりながら∧で自由生成したら、任意の可算部分集合が作れる？
ℵ₁1-完備を仮定する。
この上限が ある鎖の上限になる と言えば十分
ref.
ω-complete partial order (ω-cpo)