特殊相対論
モチベ
gravitational redshift
概念
事象
世界点
世界線
世界間隔
aka. 世界距離
cf. 固有時, proper time
物体に固定された座標系ではかった時間間隔
ct の t の部分
駒宮本では未定義
cf. 虚時間を使える。
世界長
原点からの世界間隔
⊂ ローレンツ内積
光円錐
内外
内 → 時間的領域: 因果関係あり
外 → 空間的領域: 因果関係なし
ローレンツ因子
en: Lorentz factor, Lorenz term
$ γ := \frac{1}{\sqrt{1-β²}} = (1-β²)^{-\frac{1}{2}} ∈ [1, ∞)
= cosh ξ
$ \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}τ}
β の定義は下記
双対角も
en: Lorentz transformation
$ β ≔ \frac{v}{c} ∈ [0, 1]
= tanh ξ
双対角
行列
L(β)
$ \begin{pmatrix} ct' \\ x' \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{matrix} γ & -βγ \\ -βγ & γ \end{matrix} & \huge{} \\ & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \\ \vdots \end{pmatrix}
固有値: γ±βγ
固有ベクトル: (1; 1), (1; -1)
⤢方向に伸びる
⤡方向に縮む
非可換な変換
世界間隔を保つ変換
cf. ポアンカレ変換
原点を共有しない
ローレンツ逆変換
aka. (Lorentz) boost
$ \begin{pmatrix} ct \\ x \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{matrix} γ & βγ \\ βγ & γ \end{matrix} & \huge{} \\ & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct' \\ x' \\ \vdots \end{pmatrix}
マイナスを外しただけ。
v ≔ -v
固有値: γ∓βγ
固有ベクトル: (1; -1), (1; 1)
⤡方向に伸びる
⤢方向に縮む
一般化
$ ct = γ(ct' + \bm{β} \cdot \bm{x}')
$ \bm{x} = \bm{x}' + \bm{β}γ(ct' + \frac{γ}{1+γ}\bm{β}\cdot\bm{x}')
Lorentz変換を回転と見る
双曲角 $ ξ = \operatorname{arcosh} γ = \operatorname{artanh} β = \operatorname{arsinh} βγ
en: hyperbolic angle
aka. rapidity
hyperbolic rotation
$ H(ξ) ≔ \begin{pmatrix} \operatorname{cosh} ξ & -\operatorname{sinh} ξ \\ -\operatorname{sinh} ξ & \operatorname{cosh} ξ \end{pmatrix}
L by ξ
$ \begin{pmatrix} ct' \\ x' \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{matrix} \operatorname{cosh} ξ & -\operatorname{sinh} ξ \\ -\operatorname{sinh} ξ & \operatorname{cosh} ξ \end{matrix} & \huge{} \\ & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \\ \vdots \end{pmatrix}
$ = \begin{pmatrix} {\huge H(ξ)} & \\ & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \\ \vdots \end{pmatrix}
cf. 虚時間ならば虚数角の回転となる $ R()
ローレンツ不変
不変間隔
ローレンツ群
表現行列: ローレンツ変換
非相対論
v ≪ c の極限的な状況
β ≃ 0
γ ≃ 1
Minkowski metric
ja: ミンコフスキー計量
$ g_{μν}
diag(1, -1, -1, -1)
energy > 0
計量符号数 [+ - - -]
ref.
covariant/contravariant vector
= 1st order tensor
4元Lorentzベクトル
4元(ローレンツ)ベクトル: ローレンツ変換に対して4元位置ベクトルと同じ変換性を持つ物理量
(4元ローレンツ)スカラー: ローレンツ変換に対して不変な物理量
4元速度
内積 = c²
ノルム = c
4元運動量
運動エネルギー
cp⁰ = mc²γ
静止エネルギー = mc²
保存する。
エネルギー
$ E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2 = {E_0}^2 + (pc)^2
m は静止質量
E² = p² + m²
特殊版
自然単位系において
ここで m ≔ mc² と戻した。
E = mc²
m ≔ γm₀
相対論的質量
静止エネルギーと同じカタチ
変形
$ E^2 = (m/γ)^2 c^4 + (βmc)^2 = (mc)^2((c/γ)^2+β^2) = (mc)^2(c^2(1-β^2)+β^2) = m^2 c^4
$ E^2 = (m₀)^2 c^4 + (βγm₀c)^2 = (m₀c)^2(c^2 + β^2 γ^2) = (mc)^2((c/γ)^2+β^2) = m^2 c^4
⇔ $ E = m c^2
相対論的質量 m
m ≔ E/c²
相対論的運動量 p
p = βm = βγm₀
m は相対論的質量
m₀ は静止質量
CMS
abbr. Center of Momentum System
vs. 重心系(非相対論)
Lorentz tensor
$ L_μ^ν, {Λᵀ}_μ^ν
物理現象
ローレンツ収縮
aka. ローレンツ短縮
長さが $ \sqrt{1-β²} = 1/γ = γ^{-1}倍になる。
aka. Length contraction
Time dilation
経過時間 γ 倍
⇔ 寿命 1/γ 倍
粒子の寿命と飛行距離の延長
延長
平均寿命: γ倍
平均飛行距離: βγ倍
e.g. 二次宇宙線
速度の合成
光速 c を超えない。
固有時の同時刻線
$ ct = βx + ct'/γ
水平でなく斜めってる。
加減速
速度 > 0
時間軸・空間軸が ct=x に向かって倒れる
速度 < 0
逆に離れる
同時性の崩れ
時間のパラドクス
同時の定義と世界点の違いから来る。
vs. ガリレイ変換
思考実験
一瞬で折り返す。
i.e. 特異点wint.icon
どっちの系から見ても、移動してた方の時計が(1/γ倍)遅い。
ローレンツ変換によって、時間的関係も空間的関係も保存する。
i.e. 因果律が保たれる。
非因果的な事象の順序は、系によって前後が入れ替わる。
光子
質量ゼロ
e.g. 重力子など
速度: 光速 c
運動量 p = h/λ = hv/c = hτv/τc = ħω/c = E/c
時間方向の4元速度はゼロ = 時間が経過しない。wint.icon
加速器 vs collider
collider の方が CMS系でのエネルギーが おおきい。
数学
Minkowski space
ja: ミンコフスキー空間
ref.
技法
アインシュタインの省略
en: Einstein summation convention
書籍
駒宮 幸男『入門 現代の電磁気学:特殊相対論を原点として』
ref.
cf. ポアンカレ変換