位相と論理
田中 俊一 『位相と論理』（2000年7月）〈日評数学選書〉日本評論社
構成
第4章の位相の準備は、もっと先に やるべき。
§2.6 でフライングしてる。
aka.
thm. 4.1 はチコノフ補題とも呼ばれる？
第5章が、ひたすら位相空間論を やってる。重い。wint.icon 第4章に続けて
6章は随伴函手をやるまでが核心で、あとは具体例ばかり。 モチベ
なんなら、そのために圏論を扱ってる？wint.icon 実際、参考文献として引用している。
大事な定理
結果
ideals of B is a frame.
table:homeo
notion 分配束 B frame A
point B → 2 pt: A → 2
spec
opensets
compact elements
adjoint functors
以下に苦労した部分を補って行く
間違った証明
命題 5.14 (§5.1, p. 71)
proof.
$ \phi(U)=\phi(V) \implies U = V.よってφは単射。
全射は自明。
よって全単射。
つまり spatial。∎
lemma of lemma
lem. 有向完備束 $ L およびその部分集合 $ S について，$ T ≔ \{\bigvee S' | S' \subset S \text{ and $S'$ is finite}\} とする．このとき，以下の２つが成り立つ：
(1) $ T は有向集合．
(2) $ S に最小上界が存在し，$ \bigvee S = \bigsqcup T．
注意: $ S の最小上界が存在するときに限って $ \bigvee S とその最小上界を書ける
(1)
Tの有向性を証明する
(2)
≥
T⊃Sより$ \sqcup T \ge \lor S
≤
Sの上界uを とる。
uは Tの上界でも ある。
$ \lor S \ge \sqcup T。
よって、$ \sqcup T = \lor S
lem.$ I \land \mathcal{J} = \{I \land \mathcal{S} \text{ の（有限）∨ の全体}\}
状況設定 (p. 77)
P: meet semilattice
I, J ∈ ideals of P
$ \mathcal{J}: directed set
proof
⊂ case:
有限分配律より
⊃ case:
$ S ⊂ \mathcal{S}を取る。
$ \lor\{I \land S_i \mid S_i \in S\} = I \land (\lor S) \in I \land \mathcal{J}.
略。
lem. 5.32
(p. 77)
上記 lem. of lem. を使う。
命題 5.43
frame に coherent性を課しているが、coherent性がなくても示せる。
定理
5章最後の定理
ようやく論理が再登場した。
性質や事実
同相写像はコンパクト性を保つ