逆関数と他の計算

逆関数について直接考察するのは難しいので微分を通してその振る舞いを見る

$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}

$ \frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=\frac1{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}}

$ t=\int\frac1{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}}{\rm d}x

たかが和だけでもうこの騒ぎになっている。

$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=f(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}

$ \frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=\frac1{f(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}}

$ t=\int\frac1{f(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}}{\rm d}x

たかが積だけでもうこの騒ぎになっている。

和の逆数の逆関数

$ x(t)=\frac1{f(t)+g(t)}

$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=-\frac{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}}{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}

$ \frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=-\frac{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}}

$ t=-\int\frac{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}}{\rm d}x

$ \frac1{x(t)}=\frac1{f(t)}+\frac1{g(t)}

$ x(t)=\frac{f(t)g(t)}{f(t)+g(t)}

$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=\frac{\left\{f(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\right\}\left\{f(t)+g(t)\right\}-f(t)g(t)\left\{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\right\}}{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}

$ =\frac{f^2(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g^2(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+f(t)g(t)\left\{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\right\}-f(t)g(t)\left\{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\right\}}{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}

$ =\frac{f^2(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g^2(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}}{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}

$ \frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=\frac{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}{f^2(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g^2(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}}

$ t=\int\frac{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}{f^2(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g^2(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}}{\rm d}x

$ \left(x\frac1+y\right)\frac1+z=\frac1{\left(x\frac1+y\right)+z}=\frac1{\left(\frac1{x+y}\right)+z}=\frac{x+y}{1+xz+yz}

結合性はない。残念。

$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}

$ \frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}={\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\frac1+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}}

$ t=\int\left(\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\frac1+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\right){\rm d}x

だいぶきれいになった

$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=f(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}

$ \frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=f(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\frac1+g(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}

$ t=\int\left(f(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\frac1+g(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\right){\rm d}x

だいぶきれいになった

和の逆数の逆関数

$ x(t)=f(t)\frac1+g(t)

$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=-\left({\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}}\right)\left\{\frac1+\left({f^2(t),2f(t)g(t),g^2(t)}\right)\right\}

$ \frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=-\left({f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}\right)\left({\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\frac1+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}}\right)

$ t=-\int\left({f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}\right)\left({\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\frac1+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}}\right){\rm d}x

あまりキレイになっていない

$ \frac1{x(t)}=\frac1{f(t)}+\frac1{g(t)}

$ x(t)=f(t)g(t)\left(f(t)\frac+g(t)\right)

$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=\frac{\left\{f(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\right\}\left\{f(t)+g(t)\right\}-f(t)g(t)\left\{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\right\}}{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}

$ =\frac{f^2(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g^2(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+f(t)g(t)\left\{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\right\}-f(t)g(t)\left\{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\right\}}{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}

$ =\frac{f^2(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g^2(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}}{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}

$ \frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=\frac{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}{f^2(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g^2(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}}

$ t=\int\frac{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}{f^2(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g^2(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}}{\rm d}x

$ \frac1{x\oplus y}=\frac1x+\frac1y

$ (x\oplus y)\oplus z=\frac{\left(\frac{xy}{x+y}\right)z}{\left(\frac{xy}{x+y}\right)+z}=\frac{xyz}{xy+yz+zx}=x\oplus y\oplus z

結合律が成り立つ！嬉しい！

可換律も成り立つ！嬉しい！

$ \frac1{x\oplus y}=\frac1{x\oplus\infty}=\frac1x+\frac1\infty=\frac1 x

$ \therefore x\oplus\infty=x

$ \therefore x\oplus(-\infty)=x

単位元が2個もある……。

逆元は加法の逆元と同じ

$ x\oplus(-x)=\frac{x(-x)}{x+(-x)}=-\frac{x^2}{0}=-\infty

(可換)二重単位元群とでも呼ぼうか

逆元が一意に定まるから単位元の二重性は問題にならないくらい良い演算なのではないか？

逆数の逆数和は和の逆数

$ \frac1x\oplus\frac1y=\frac{\frac1{xy}}{\frac1x+\frac1y}=\frac{1}{x+y}

二重加法単位元環になっているか？

$ k(x\oplus y)=\frac{kxy}{x+y}=\frac{(kx)(ky)}{(kx)+(ky)}=kx\oplus ky

なってる！

$ x\oplus x=\frac{xx}{x+x}=\frac{x}2

$ \bigoplus_{k=1}^nx=\frac{x}{n}

和との関係は？

$ x\oplus y=\frac{xy}{x+y}

$ \frac{xy}{x\oplus y}=\frac{xy}{\frac{xy}{x+y}}=x+y

双対構造になってる！

$ k\oplus(x+y)=\frac{k(x+y)}{k+x+y}

$ =k(x+y)\left(\frac1k\oplus\frac1x\oplus\frac1y\right)

$ =k\left(\frac1k(x+y)\oplus\left(1+\frac{y}x\right)\oplus\left(1+\frac{x}y\right)\right)

$ (k\oplus x)+(k\oplus y)=\frac{kx}{k+x}+\frac{ky}{k+y}

$ =\left\{kx(k+y)+(k+x)ky\right\}\left(\frac1k\oplus\frac1x\right)\left(\frac1k\oplus\frac1y\right)

$ =k\left\{kx+2xy+ky\right\}\left(\frac1{k^2}\oplus\frac1{kx}\oplus\frac1{ky}\oplus\frac1{xy}\right)

$ =k^2xy\left\{\frac1x+\frac2k+\frac1y\right\}\left(\frac1{k^2}\oplus\frac1{kx}\oplus\frac1{ky}\oplus\frac1{xy}\right)

$ (k+x)\oplus(k+y)=\frac{(k+x)(k+y)}{x+2k+y}

$ =\left(k^2+kx+ky+xy\right)\left(\frac1x\oplus\frac2k\oplus\frac1y\right)

$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}

$ \frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=\frac1{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}}=\frac1{\frac{{\rm d}t}{{\rm d}f}}\oplus\frac1{\frac{{\rm d}t}{{\rm d}g}}=\frac{{\rm d}t}{{\rm d}f}\oplus\frac{{\rm d}t}{{\rm d}g}

$ t=\int\left(\frac{{\rm d}t}{{\rm d}f}\oplus\frac{{\rm d}t}{{\rm d}g}\right){\rm d}x

キレイ！

$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=f(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}

$ \frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=\frac1{f(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}}=\frac1{f(t)}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}g}\oplus\frac1{g(t)}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}f}

$ t=\int\left(\frac1{f(t)}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}g}\oplus\frac1{g(t)}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}f}\right){\rm d}x

キレイ！

和の逆数の逆関数

$ x(t)=\frac1{f(t)+g(t)}=\frac1{f(t)}\oplus\frac1{g(t)}

$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=-\frac{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}}{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}=-\left({\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}}\right)\left(\frac1{f^2(t)}\oplus\frac2{f(t)g(t)}\oplus\frac1{g^2(t)}\right)

$ \frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=-\left({\frac{{\rm d}t}{{\rm d}f}\oplus\frac{{\rm d}t}{{\rm d}g}}\right)\left(f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)\right)

$ t=-\int\left({\frac{{\rm d}t}{{\rm d}f}\oplus\frac{{\rm d}t}{{\rm d}g}}\right)\left(f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)\right){\rm d}x

逆数和の逆関数

$ \frac1{x(t)}=\frac1{f(t)}+\frac1{g(t)}=\frac1{f(t)}\oplus\frac1{g(t)}

$ x(t)=\frac{f(t)g(t)}{f(t)+g(t)}=f(t)\oplus g(t)

$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=\frac{\left\{f(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\right\}\left\{f(t)+g(t)\right\}-f(t)g(t)\left\{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\right\}}{f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)}

$ =\left({\left\{f(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\right\}\left\{f(t)+g(t)\right\}-f(t)g(t)\left\{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\right\}}\right)\left({\frac1{f^2(t)}\oplus\frac2{f(t)g(t)}\oplus+\frac1{g^2(t)}}\right)

$ =\left({f^2(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g^2(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+f(t)g(t)\left\{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\right\}-f(t)g(t)\left\{\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\right\}}\right)\left({\frac1{f^2(t)}\oplus\frac2{f(t)g(t)}\oplus\frac1{g^2(t)}}\right)

$ \left({f^2(t)\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}+g^2(t)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}}\right)\left({\frac1{f^2(t)}\oplus\frac2{f(t)g(t)}\oplus\frac1{g^2(t)}}\right)

$ \frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=\left(\frac1{f^2(t)}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}g}\oplus\frac1{g^2(t)}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}f}\right)\left(f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)\right)

$ t=\int\left(\frac1{f^2(t)}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}g}\oplus\frac1{g^2(t)}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}f}\right)\left(f^2(t)+2f(t)g(t)+g^2(t)\right){\rm d}x

調和の微積分ができると便利そう

$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left(f\oplus g\right)=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{fg}{f+g}

$ =\left\{(fg)'(f+g)-fg(f'+g')\right\}{\left(\frac1f\oplus+\frac1g\right)^2}

$ =\left\{(f'g+g'f)(f+g)-fg(f'+g')\right\}\left(\frac1f\oplus+\frac1g\right)^2

$ =\frac{(f'g^2+g'f^2)}{(f+g)^2}

$ ={(f'g^2+g'f^2)}{\left(\frac1f\oplus\frac1g\right)^2}

$ ={(f'g^2+g'f^2)}{\left(\frac1{f^2}\oplus\frac2{fg}\oplus\frac1{g^2}\right)}

$ =f'g^2\left(\frac1{f^2}\oplus\frac2{fg}\oplus\frac1{g^2}\right)+g'f^2\left(\frac1{f^2}\oplus\frac2{fg}\oplus\frac1{g^2}\right)

$ =\left(f'\frac{g^2}{f^2}\oplus2g\frac{f'}{f}\oplus f'\right)+\left(g'\oplus2f\frac{g'}{g}\oplus g'\frac{f^2}{g^2}\right)

くっそゴツいけど割とキレイ

調和微分？

$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)\oplus(-f(x))}{\Delta x}=-\lim_{\Delta x\to0}\frac1{\Delta x}\frac{f(x+\Delta x)f(x)}{f(x+\Delta x)-f(x)}

$ =-\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)f(x)}{\Delta x^2}\frac{\Delta x}{f(x+\Delta x)-f(x)}

$ =-\frac{f^2(x)}{f'(x)}

$ =\frac{1}{(\frac1f)'}

$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left(f\oplus g\right)=\left(-f'\frac{g^2}{f^2}\oplus2g\frac{f'}{f}\oplus f'\right)+\left(g'\oplus2f\frac{g'}{g}\oplus g'\frac{f^2}{g^2}\right)

$ \left\{(-g^2\mathcal D_\oplus f)\oplus2g(\ln f)'\oplus f'\right\}+\left\{g'\oplus2f(\ln g)'\oplus (-f^2\mathcal D_\oplus{g})\right\}

調和積分？

$ \int f(x){\rm d}x=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^nf(x_k)

複数調和

$ \frac1{\bigoplus_{k=1}^n x_k}=\sum_{k=1}^n\frac1{x_k}=\sum_{i=1}^n\frac{\prod_{j\ne i}^n x_j}{\prod_{k=1}^n x_k}

$ \bigoplus_{k=1}^n x_k=\frac{\prod_{k=1}^n x_k}{\sum_{i=1}^n\prod_{j\ne i}^n x_j}

$ \int_\oplus f(x){\rm d}x=\lim_{n\to\infty}\frac{n\prod_{k=1}^n f(x_k)}{\sum_{i=1}^n\prod_{j\ne i}f(x_j)}

$ \frac1{\int_\oplus f(x){\rm d}x}=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n\frac{\prod_{j\ne i}f(x_j)}{\prod_{k=1}^n f(x_k)}

$ \frac1{\int_\oplus f(x){\rm d}x}=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{1}{f(x_k)}

$ \frac1{\int_\oplus f(x){\rm d}x}=\int\frac1f{\rm d}x

逆数微分を上手く定義できるようになり、積分の幅が広がる！

$ \int fg{\rm d}t=Fg-\int Fg'{\rm d}t

$ \int fg{\rm d}t\overset?=g\int f{\rm d}t-\int\left(\int f{\rm d}t\right)g'{\rm d}t

$ \int fg{\rm d}t=g(F+C_1)-\int(F+C_2)g'{\rm d}t

$ \int fg{\rm d}t=gF+gC_1-C_2g-\int Fg'{\rm d}t

$ \int\frac fg{\rm d}t=\frac Fg+\int\frac{Fg'}{g^2}{\rm d}t

$ =\frac{Fg}{g^2}+\int\frac{Fg'}{g^2}{\rm d}t

積の微分→積の積分から類推される、商の微分→商の積分の対応関係と合致する

$ =\frac{F}{g}-\int \frac{F}{\mathcal D_\oplus g}{\rm d}t

積の積分と同じ形になった

$ \int\left(f\oplus g\right){\rm d}t=\int\frac{fg}{f+g}{\rm d}t

$ =\frac{G(fg)}{f+g}+\int G\left(fg\right)\frac{(f'+g')}{(f+g)^2}{\rm d}t

$ =G(fg)\left(\frac1f\oplus\frac1g\right)+\int G(fg)\left(\frac1f\oplus\frac1g\right)^2(f'+g'){\rm d}t

$ =G(fg)\left(\frac1f\oplus\frac1g\right)+\int G(fg)\left(\frac{f'+g'}{f^2}\oplus\frac{2(f'+g')}{fg}\oplus\frac{f'+g'}{g^2}\right){\rm d}t

$ =G(fg)\left(\frac1f\oplus\frac1g\right)+\int G(fg)\left\{\left(-\frac{f'}{f^2}+\frac{g'}{f^2}\right)\oplus2\left(\frac{f'}{fg}+\frac{g'}{fg}\right)\oplus\left(\frac{f'}{g^2}+\frac{g'}{g^2}\right)\right\}{\rm d}t

$ =G(fg)\left(\frac1f\oplus\frac1g\right)+\int G(fg)\left\{\left(\frac{g'}{f^2}-\frac{1}{\mathcal D_\oplus f}\right)\oplus2\left(\frac{(\ln f)'}{g}+\frac{(\ln g)'}{f}\right)\oplus\left(\frac{f'}{g^2}-\frac{1}{\mathcal D_\oplus g}\right)\right\}{\rm d}t

$ =G(fg)\left(\frac1f\oplus\frac1g\right)+\int G(fg)\left\{\frac{f^2}{g'}\oplus(-\mathcal D_\oplus f)\oplus2\left(\frac{g}{(\ln f)'}\oplus\frac{f}{(\ln g)'}\right)\oplus\frac{g^2}{f'}\oplus(-\mathcal D_\oplus g)\right\}{\rm d}t

$ =G(fg)\left(\frac1f\oplus\frac1g\right)+\int G(fg)\left\{\frac{g^2}{f'}\oplus\frac{f^2}{g'}\oplus2\left(\frac{g}{(\ln f)'}\oplus\frac{f}{(\ln g)'}\right)\oplus(-\mathcal D_\oplus f)\oplus(-\mathcal D_\oplus g)\right\}{\rm d}t