調和

調和平均と同じ発想の和

$ x\oplus y=\frac{xy}{x+y}

$ \frac1{x\oplus y}=\frac{x+y}{xy}=\frac1x+\frac1y

$ x\oplus x=\frac{xx}{x+x}=\frac{x}2

$ \bigoplus_{i=1}^nx=\frac x{n}

調和の双対性

$ \frac{xy}{x\oplus y}=xy\left(\frac1x+\frac1y\right)=x+y

$ \frac1{x+y}=\frac{x\oplus y}{xy}=\frac1x\oplus\frac1y

調和は体の和を成す……が、単位元と逆元が2つずつある。

$ (x\oplus y)\oplus z=\frac{(x\oplus y)z}{(x\oplus y)+z}=\frac{\frac{xy}{x+y}z}{\frac{xy}{x+y}+z}=\frac{xyz}{xy+yz+zx}

$ x\oplus(y\oplus z)=\frac{x(y\oplus z)}{x+(y\oplus z)}=\frac{x\frac{yz}{y+z}}{x+\frac{yz}{y+z}}=\frac{xyz}{xy+yz+zx}

$ \lim_{n\to\infty}\frac{xn}{x+n}=x\lim_{n\to\infty}\frac{n}{x+n}=x

$ \lim_{n\to\infty}\frac{x(-n)}{x+(-n)}=x\lim_{n\to\infty}\frac{(-n)}{x+(-n)}=x

$ \lim_{\varepsilon\to+0}x\oplus(-x+\varepsilon)=\lim_{\varepsilon\to+0}\frac{x(-x+\varepsilon)}{x+(-x+\varepsilon)}=-\lim_{\varepsilon\to+0}\frac{x(x-\varepsilon)}{\varepsilon}=-\infty

$ \lim_{\varepsilon\to+0}x\oplus(-x-\varepsilon)=\lim_{\varepsilon\to+0}\frac{x(-x-\varepsilon)}{x+(-x-\varepsilon)}=-\lim_{\varepsilon\to+0}\frac{x(x+\varepsilon)}{-\varepsilon}=\infty

$ k(x\oplus y)=k\frac{xy}{x+y}=\frac{(kx)(ky)}{(kx)+(ky)}=(kx)\oplus(ky)

調和は群演算でありながら、零元を持つ

$ x\oplus 0=\frac{x0}{x+0}=0

$ x\oplus\varepsilon=\frac{x\varepsilon}{x+\varepsilon}=\varepsilon

$ x\oplus(-\varepsilon)=\frac{x(-\varepsilon)}{x-\varepsilon}=-\varepsilon

調和と和

$ (a+b)\oplus c=\frac{(a+b)c}{a+b+c}

$ (a+b)\oplus(c+d)=\frac{(a+b)(c+d)}{a+b+c+d}

$ (a\oplus b)+ c=\frac{(a\oplus b)c}{a\oplus b\oplus c}=\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}\frac{abc}{a+b}

調和と微分

普通の微分

$ f'=\lim_{\delta\to0}\frac{f(x+\delta)-f(x)}{\delta}

$ f_+'=\lim_{\delta\to+0}\frac{f(x+\delta)-f(x)}{\delta}

$ f_-'=\lim_{\delta\to+0}\frac{f(x-\delta)-f(x)}{(-\delta)}

$ f\circ g=\lim_{\delta\to0}\frac{f(g(x+\delta))-f(g(x))}{\delta}=\lim_{\delta\to0}\frac{f(g(x+\delta))-f(g(x))}{g(x+\delta)-g(x)}\frac{g(x+\delta)-g(x)}{\delta}=(f'\circ g)\cdot g'

$ (fg)'=f'g+fg'

$ \left(\frac1g\right)'=-\frac{g'}{g^2}

$ \left(\frac{f}g\right)=f'\frac1g+f\left(\frac{1}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

$ (f\oplus g)'=\left(\frac{fg}{f+g}\right)'

$ =\frac{(f'g+fg')(f+g)-fg(f'+g')}{(f+g)^2}

$ ={\left(\frac1f\oplus\frac1g\right)^2}{(f'g^2+f^2g')}

$ =(f\oplus g)^2\left(\frac{f'}{f^2}+\frac{g'}{g^2}\right)

$ =-(f\oplus g)^2\left(\frac{1}{\mathcal D_\oplus f}+\frac{1}{\mathcal D_\oplus g}\right)

$ =-\frac{(f\oplus g)^2}{{\mathcal D_\oplus f}\oplus{\mathcal D_\oplus g}}

調和微分

$ \mathcal D_{\oplus} f=\lim_{\delta\to0}\frac{\delta f(x+\delta)\{-f(x)\}}{f(x+\delta)-f(x)}=-\lim_{\delta\to0}f(x+\delta)f(x)\frac{\delta}{f(x+\delta)-f(x)}=-\frac{f^2}{f'}

$ \mathcal D_{+\oplus} f=\lim_{\delta\to+0}\frac{\delta f(x+\delta)\{-f(x)\}}{f(x+\delta)-f(x)}=-\lim_{\delta\to+0}f(x+\delta)f(x)\frac{\delta}{f(x+\delta)-f(x)}=-\frac{f^2}{f'_+}

$ \mathcal D_{-\oplus} f=\lim_{\delta\to+0}\frac{(-\delta)f(x-\delta)\{-f(x)\}}{f(x-\delta)-f(x)}=-\lim_{\delta\to+0}f(x-\delta)f(x)\frac{(-\delta)}{f(x-\delta)-f(x)}=-\frac{f^2}{f'_-}

$ \frac1{\mathcal D_{\oplus}f}=-\frac{f'}{f^2}=\left(\frac1 g\right)'

$ \mathcal D_{\oplus}(f+g)=-\frac{(f+g)^2}{f'+g'}

$ =-(f+g)^2\left(\frac1{f'}\oplus\frac1{g'}\right)

$ \mathcal D_\oplus(f\oplus g)=-\frac{(f\oplus g)^2}{(f\oplus g)'}=-\frac{(f\oplus g)^2}{-\frac{(f\oplus g)^2}{{\mathcal D_\oplus f}\oplus{\mathcal D_\oplus g}}}={\mathcal D_\oplus f}\oplus{\mathcal D_\oplus g}

$ \mathcal D_\oplus(fg)=-\frac{(fg)^2}{f'g+fg'}

$ =-(fg)^2\left(\frac1{f'g}\oplus\frac1{fg'}\right)

$ =-\left(\frac{f^2}{f'}g\oplus f\frac{g^2}{g'}\right)

$ =(\mathcal D_\oplus f)\cdot g\oplus f\cdot(\mathcal D_\oplus g)

$ \mathcal D_\oplus(f(g))=-\frac{f^2(g)}{f'(g)\cdot g'}=-\frac{\mathcal D_\oplus f}{g'}

調和と積分

普通の積分

$ F=\mathcal Sf=\int f{\rm d}x=\sum_{i=1}^\infty f(x_i)\Delta x_i

$ \mathcal S(fg)=Fg-\mathcal S(Fg')

$ \mathcal S\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{Fg}{g^2}-\left\{-\mathcal S\left(\frac{Fg'}{g^2}\right)\right\}

$ =\frac{F}{g}-\mathcal S\left(\frac{F}{\mathcal D_\oplus g}\right)

$ \mathcal S(f\oplus g)=\mathcal S\left(\frac{fg}{f+g}\right)

$ =\frac{\mathcal S(fg)}{f+g}-\mathcal S\left(\frac{\mathcal S(fg)}{\mathcal D_\oplus(f+g)}\right)

調和積分

$ F_\oplus=\mathcal S_\oplus f=\bigoplus_{i=1}^\infty \frac{f(x_i)}{\Delta x_i}