線型空間の普遍性

from そこそこまあまあ精密に読む『ベーシック圏論普遍性からの速習コース』

線型空間の台集合$ Vが$ Sで添え字づけられた基底$ \bm e_\bullet:S\to Vを持つとする。以下が成り立つ

$ \forall W\forall f:S\to W\exists!\bar f:V\to W.f=\bar f\circ \bm e_\bullet\land\bar f\text{は線型写像である}

ただし、$ Wは線型空間の台集合とする

https://scrapbox.io/files/65c5da39a748fa0025b3b7e6.svg

もっと大きな図のほうがいいかな？takker.icon

ええー？ほんとにござるかぁ？takker.icon

成り立つ例

例えば$ f:S\ni i\mapsto 2\bm e_i\in Vがある

簡単のため$ W=Vとした

線型写像$ \bar f:V\ni\bm v\mapsto2\bm v\in V を使えば、$ f=\bar f\circ\bm e_\bulletとなる

$ \because\bar f\circ\bm e_\bullet(i)=\bar f(\bm e_i)=2\bm e_i

$ fに線型性は要求されないのか？takker.icon

たとえば$ W=V,f:S\ni i\mapsto 2\bm e_i+\bm e_1\in Vとしてみる

$ S=\{0,1,\cdots,N-1\}とした

基底の線型結合は$ Vに属する

このとき$ \bar f(\bm e_i)=2\bm e_i+\bm e_1となる線型写像$ \bar fが存在すればいいが、存在するとは思えない

$ \bar f:\bm v\mapsto 2\bm v+\bm e_1は非線型なので却下

$ \bar f(a\bm e_0+b\bm e_1)=2a\bm e_0+(2b+1)\bm e_1

$ a\bar f(\bm e_0)+b\bar f(\bm e_1)=2a\bm e_0+(a+3b)\bm e_1

いや、↓ならいける

$ \bar f:V\ni \bm v\mapsto\begin{dcases}2\bm v+\bm e_1&\text{if }\exist i\in S.\bm v=\bm e_i\\\sum_iv_i\bar f(\bm e_i)&\text{otherwise}\end{dcases}\in V

ここで、$ v_iは$ \bm vの基底$ \{\bm e_i\}_{i\in S}における成分とした

$ \bm v=v_0\bm e_0+v_1\bm e_1+\cdots+v_{n-1}\bm e_{n-1}

証明

otherwiseの方で線型写像の定義を満たせている

$ \bar f(\bm e_i)=2\bm e_i+\bm e_1=f(i)だから$ \bar f\circ\bm e_\bullet=fも満たしている

$ f:i\mapsto\bm 0はどうだ？

これは簡単。$ \bar f:\bm v\mapsto\bm 0とすればいいだけ

証明

$ fが非線型でも成り立つことを示したときの$ \bar fの構成法を使えば示せる

存在を示す

$ \forall f:S\to Wにて

$ \bar fを定義する

$ \bar f:V\ni \bm v\mapsto\sum_iv_if(i)\in W

上では場合分けしていたが、線型結合だけで十分だと気付いたtakker.icon

$ \bar fが線型であることを示す

$ \forall\bm v_a,\bm v_b\in V\forall a,b\in K;

$ Kは$ Vに付随する係数体とした

$ \bar f(a\bm v_a+b\bm v_b)=\bar f(av_{ai}\bm e_i+bv_{bi}\bm e_i)

$ = \sum_iav_{ai}f(i)+\sum_ibv_{bi}f(i)

$ \because $ \bar fの定義

$ v_{ai},v_{bi}を$ \bm v_a,\bm v_bの成分とした

$ = a\sum_iv_{ai}f(i)+b\sum_iv_{bi}f(i)

$ = a\bar f(\bm v_a)+b\bar f(\bm v_b)

$ \because\bar f(\bm v_\bullet)=\sum_iv_{\bullet i}f(i)

$ \therefore\forall\bm v_a,\bm v_b\in V\forall a,b\in K.\bar f(a\bm v_a+b\bm v_b)=a\bar f(\bm v_a)+b\bar f(\bm v_b)

$ \therefore\forall f:S\to W\exists\bar f:V\to W.f=\bar f\circ \bm e_\bullet\land\bar f\text{は線型写像である}

一意性を示す

$ \forall f:S\to W\forall \bar f_0,\bar f_1:V\to W.

$ \begin{dcases}f=\bar f_0\circ\bm e_\bullet=\bar f_1\circ\bm e_\bullet\\\bar f_0,\bar f_1\text{は線型写像である}\end{dcases}

$ \implies\forall\bm v\in V.

$ \bar f_0(\bm v)=\sum_iv_i\bar f_0(\bm e_i)

$ \because\bar f_0\text{は線型写像である}

$ =\sum_iv_i\bar f_1(\bm e_i)

$ \because f=\bar f_0\circ\bm e_\bullet=\bar f_1\circ\bm e_\bullet

$ =\bar f_1(\bm v)

$ \because\bar f_1\text{は線型写像である}

$ \iff\forall\bm v\in V.\bar f_0(\bm v)=\bar f_1(\bm v)

$ \iff \bar f_0=\bar f_1

$ \underline{\therefore\forall f:S\to W\exists!\bar f:V\to W.f=\bar f\circ \bm e_\bullet\land\bar f\text{は線型写像である}\quad}_\blacksquare

やったー！証明できた！takker.icon

一意性の証明で$ \bar fの定義を一ッッッッッ切使っていないことに注目

このことは補題0.3と共通する

この例では、$ \bm e_\bulletによって、全単射$ {\cal F}:(S\to W)\to(V\to W)が構成できることを示している

$ \cal Fの構成が普遍性を意味している

なんだか当たり前に思えてきたtakker.icon

fは1変数函数

code:eg0.4.tikz(tex)

\usepackage{bm}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}auto,->

\node (S) at (2,0) {$S$};

\node (V) at (0,0) {$V$};

\node (W) at (0,2) {$W$};

\draw (S) -- node {$\bm e_\bullet$} (V);

\draw (S) -- nodeswap {$\forall f$} (W);

\drawdashed (V) -- node {$\exists! \bar{f}\textrm{ is linear}$} (W);

\end{tikzpicture}

\end{document}