線型空間 - 井戸端

線型空間

任意の可換群$ (V,+)と任意の体$ \mathbf K、演算子$ \cdot:K\times V\to Vについて、次の条件を満たす三つ組$ \mathbf V:=((V,+),\mathbf K,\cdot)を「$ \bf K上の線型空間」と呼ぶ

1. $ +に対する左分配法則：$ \forall a\in K\forall\bm u,\bm v\in V：a\cdot(\bm u+\bm v)=a\cdot\bm u+a\cdot\bm v

2. $ \cdotに対する左分配法則：$ \forall a,b\in K\forall\bm u\in V：(a+b)\cdot\bm u=a\cdot\bm u+b\cdot\bm u

3. 2つの$ \cdotの関係：$ \forall a,b\in K\forall\bm u\in V：a\cdot(b\cdot\bm u)=(a\cdot b)\cdot\bm v

4. 左単位元の存在：$ \forall\bm u\in V：1_{\mathbf K}\cdot\bm u=\bm u

$ 1_{\mathbf K}：$ \mathbf Kの乗法単位元

$ \bf Vが線型空間の時、

$ \mathbf Kを係数体と呼ぶ

$ Vの元を(ベクトル|vector)と呼ぶ

$ \cdotをスカラー倍と呼ぶ

「$ \bf K上の線型空間」は「$ \mathbf K-線型空間」ともいう

$ K=\Rのとき実線型空間と呼ぶ

$ K=\Complexのとき複素線型空間と呼ぶ