直積圏 - 井戸端

直積圏

任意の圏$ \bf A,Bについて、

$ {\bf A}\times{\bf B}:=(

$ {\rm ob}({\bf A})\times{\rm ob}({\bf B}),

$ ((A,B),(A',B'))\xmapsto{{\bf A}\times{\bf B}((A,B),(A',B'))}{\bf A}(A,A')\times{\bf B}(B,B'),

$ ({\bf A}\times{\bf B}(V,W))\times({\bf A}\times{\bf B}(U,V))\ni((f_0,f_1),(g_0,g_1))\xmapsto{(f_0,f_1)\circ(g_0,g_1)} (f_0\circ g_0,f_1\circ g_1)\in{\bf A}\times{\bf B}(U,W)

$ )

を直積圏と呼ぶ

直積圏の恒等射は$ {\rm id}_{(A,B)}=({\rm id}_A,{\rm id}_B)である

証明

$ \forall (f_0,f_1)\in{\bf A}\times{\bf B}((A,B),(A',B')).

$ (f_0,f_1)\circ{\rm id}_{(A,B)}=(f_0,f_1)\circ({\rm id}_A,{\rm id}_B)

$ =(f_0\circ{\rm id}_A,f_1\circ{\rm id}_B)

$ =(f_0,f_1)

$ \forall (f_0,f_1)\in{\bf A}\times{\bf B}((A',B'),(A,B)).

$ {\rm id}_{(A,B)}\circ(f_0,f_1)=({\rm id}_A,{\rm id}_B)\circ(f_0,f_1)

$ =({\rm id}_A\circ f_0,{\rm id}_B\circ f_1)

$ =(f_0,f_1)

恒等射の性質を満たすので、恒等射の一意性より$ {\rm id}_{(A,B)}=({\rm id}_A,{\rm id}_B)が$ {\bf A}\times{\bf B}の恒等射となる