ラグランジュの分解式

すなわち、

トリビアルな例

$ r_0=\sum_{t=1}^n\alpha_t=\sum_{t=0}^{n-1}\alpha_t

代数方程式と共役

実係数代数方程式の解と共役な複素数もまたその方程式の解となる。

$ 0=\sum_{k=0}^na_nx^k

$ 0=\left(\sum_{k=0}^na_nx^k\right)^*

$ \sum_{k=0}^na_n^*(x^*)^k

よって、実係数代数方程式の解は共役な対に分けられる

例えば、最も多くの虚数解を持つ(最も少ない実数解を持つ)時、

奇数次の実係数代数方程式は必ず1つ実数解を持つ

共役な相方が居ない解が1つ存在し、その解は自分自身と共役を成す

1の原始根の性質

べき乗和が0になる

1の原始根は定義から次のn次方程式の解である

$ 0=x^n-1

$ =(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)

$ =(x-1)\left(\sum_{k=0}^{n-1}x^k\right)

$ 0=\sum_{k=0}^{n-1}x^k

$ 0=1+\sum_{k=1}^{n-1}x^k

$ =x^n+\sum_{k=1}^{n-1}x^k

$ =\sum_{k=1}^{n}x^k

レゾルヴァンの性質

代数方程式が最も少ない実数解を持つ（奇数次のときは1個の、偶数時の時は0個の実数解を持つ）時、

解の順番を上手く並べることで、レゾルヴァンは実数か純虚数になる

$ r_\theta-r_\theta^*=\sum_{t=0}^{n-1}\alpha_t\omega^{t\theta}-\left(\sum_{t=0}^{n-1}\alpha_t\omega^{t\theta}\right)^*

$ = \sum_{t=0}^{n-1}\alpha_t\omega^{t\theta}-\sum_{t=0}^{n-1}\alpha_t^*\omega^{-t\theta}

$ = \sum_{t=0}^{n-1}\alpha_t\omega^{t\theta}-\sum_{t=0}^{n-1}\alpha_{n-t}^*\omega^{t\theta}

$ = \sum_{t=0}^{n-1}(\alpha_t-\alpha_{n-t}^*)\omega^{t\theta}

$ =(\alpha_0+\alpha_\frac{n}2\omega^{\frac{n}2\theta})-(\alpha_0^*+\alpha_\frac{n}2^*\omega^{\frac{n}2\theta})

$ r_\theta-r_\theta^*=\alpha_0-\alpha_0^*=0\quad\because(\alpha_0\in\R)

$ r_\theta-r_\theta^*=(\alpha_0+\alpha_0^*)-(\alpha_0^*+\alpha_0)=0

$ r_\theta{\color{#0c0}+}r_\theta^*=(\alpha_0{\color{red}-}\alpha_0^*){\color{#0c0}+}(\alpha_0^*{\color{red}-}\alpha_0)=0

フーリエ変換と同じことをしている

$ a_\theta=\frac1{\sqrt{N}}\sum_{t=1}^nx_te^{-\frac{2\pi it\theta}n}=\frac1{\sqrt{N}}\sum_{t=1}^nx_t\omega^{-t\theta}

そのため、行列で表すと巡回行列が現れる

5次方程式の例

$ \begin{bmatrix}r_0\\r_1\\r_2\\r_3\\r_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&\omega&\omega^2&\omega^3&\omega^4\\1&\omega^2&\omega^4&\omega^1&\omega^3\\1&\omega^3&\omega^1&\omega^4&\omega^2\\1&\omega^4&\omega^3&\omega^2&\omega^1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}

巡回行列には逆行列が存在する（フーリエ変換に逆フーリエ変換が存在するのと同じ）。このためレゾルヴァンを計算したら解が復元できる

$ \begin{bmatrix}r_0\\r_1\\r_2\\r_3\\r_4\end{bmatrix}=\frac1N\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&\omega^4&\omega^3&\omega^2&\omega^1\\1&\omega^3&\omega^1&\omega^4&\omega^2\\1&\omega^2&\omega^4&\omega^1&\omega^3\\1&\omega^1&\omega^2&\omega^3&\omega^4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}r_0\\r_1\\r_2\\r_3\\r_4\end{bmatrix}

2次方程式

$ r_0=x_0+x_1=-2a

$ r_1=x_0+\omega x_1

$ =x_0-x_1

$ r_1^2=(x_0-x_1)^2

$ =x_0^2+x_1^2-2x_0x_1

$ =(x_0+x_1)^2-4x_0x_1

$ =4a^2-4b

$ \therefore r_1=\pm2\sqrt{a^2-b}

$ \therefore x=\frac12(r_0\pm r_1)=a\pm\sqrt{a^2-b}

3次方程式

$ r_0=x_0+x_1+x_2=-3a

$ r_1=x_0+\omega x_1+\omega^2 x_2

$ r_2=x_0+\omega^2x_1+\omega^1x_2

$ x_k=-a+\omega^ku+\omega^{-k}v

すると、

$ r_1=\omega(-a+\omega u+\omega^{-1}v)+\omega^2(-a+\omega^2u+\omega^{-2}v)+1(-a+u+v)

$ =3v

カルダノの解法

$ 0=x^3+3ax^2+6bx+2c

$ 0=(x+a)^3+(6b-3a^2)(x+a)+(2c+2a^3-6ab)

$ =(u+v)^3+p(u+v)+q

$ =u^3+v^3+(p+3uv)(u+v)+q

$ u^3+v^3+(2c+2a^3-6ab)_{=q}=0

$ (6b-3a^2)_{=p}+3uv=0

$ 0=(v^3)^2+(2c+2a^3-6ab)_{=q}v^3-(2b-a^2)_{=\frac{p}3}^3

これと、レゾルヴァンによる解法が一致することを確認する。

対称式の仕込みをしておく

$ 0=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)

$ =x^3+(-x_1-x_2-x_3)_{=3a}x^2+(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)_{=6b}x+(-x_1x_2x_3)_{=2c}

$ (-3a)(6b)-3(-2c)=(x_0+x_1+x_2)(x_0x_1+x_1x_2+x_2x_0)-3x_0x_1x_2

$ =x_0x_1^2+x_0^2x_1+x_1x_2^2+x_1^2x_2+x_2x_0^2+x_2^2x_0

$ 6c-18ab=x_0x_1^2+x_0^2x_1+x_1x_2^2+x_1^2x_2+x_2x_0^2+x_2^2x_0

$ r_1^3=(x_0+\omega x_1+\omega^2x_2)^3

$ =(x_0^3+x_1^3+x_2^3+6x_0x_1x_2)+3(x_0^2x_1+x_1^2x_2+x_2^2x_0)\omega+3(x_0x_1^2+x_1x_2^2+x_2x_0^2)\omega^2

$ =(x_0+x_1+x_2)^3-\frac92(x_0x_1^2+x_0^2x_1+x_1x_2^2+x_1^2x_2+x_2x_0^2+x_2^2x_0)

$ +\frac32\{-x_0x_1^2+x_0^2x_1-x_1x_2^2+x_1^2x_2-x_2x_0^2+x_2^2x_0\}\omega

$ +\frac32\{x_0x_1^2-x_0^2x_1+x_1x_2^2-x_1^2x_2+x_2x_0^2-x_2^2x_0\}\omega^2

$ =(-3a)^3-\frac92(6c-18ab)-\frac32C\omega+\frac32C\omega^2\qquad(C=(x_0-x_1)(x_1-x_2)(x_2-x_0))

$ =-27(a^3+c-3ab)-\frac32C\omega+\frac32C\omega^2

$ r_2^3=-27(a^3+c-3ab){\color{red}+}\frac32C\omega{\color{red}-}\frac32C\omega^2

$ \frac{2}{3}r_1^3+18(a^3+c-3ab)=-C\omega+C\omega^2

$ 0=\left(\frac{2}{3}r_1^3\right)^2+24(a^3+c-3ab)(r_1^3)+18^2(a^3+c-3ab)^2+3C^2

$ 0=(r_1^3)^2+54(a^3+c-3ab)(r_1^3)+27^2(a^3+c-3ab)^2_{\color{red}\star}+\frac{27}4C^2

$ = (r_1^3)^2+54(a^3+c-3ab)(r_1^3)-27^2\left(2b-a^2\right)^3_{\color{blue}\star}

$ {\color{red}\star}\quad4\cdot27^2(a^3+c-3ab)^2=\{-2(-3a)^3-9(6c-18ab)\}^2

$ =\{-2(x_0+x_1+x_2)^3-9(x_0x_1^2+x_0^2x_1+x_1x_2^2+x_1^2x_2+x_2x_0^2+x_2^2x_0)\}^2

$ =\{-2(x_0^3+x_1^3+x_2^3)-12x_1x_2x_3+3(x_0x_1^2+x_0^2x_1+x_1x_2^2+x_1^2x_2+x_2x_0^2+x_2^2x_0)\}^2

$ {\color{blue}\star}\quad27^2(2b-a^2)^3=\{3\cdot6b-(-3a)^2\}^3

$ =\{3(x_0x_1+x_1x_2+x_2x_0)-(x_0+x_1+x_2)^2\}^3

$ =(x_0x_1+x_1x_2+x_2x_0-x_0^2-x_1^2-x_2^2)^3

交代式を用いることで式を打ち消していく。

$ X=x_0-x_1,\ Y=x_1-x_2,\ Z=x_2-x_0

$ \color{#0c0}\therefore X+Y+Z=0

$ XY+YZ+ZX=(x_0-x_1)(x_1-x_2)+ (x_1-x_2)(x_2-x_0)+ (x_2-x_0)(x_0-x_1)

$ =-(x_0^2+x_1^2+x_2^2)+(x_0x_1+x_1x_2+x_2x_0)

$ \color{blue}\therefore XY+YZ+ZX=-(x_0^2+x_1^2+x_2^2)+(x_0x_1+x_1x_2+x_2x_0)\quad\cdots(\star)

$ (X-Y)(Y-Z)(Z-X)

$ =\{(x_0-x_1)-(x_1-x_2)\}\{(x_1-x_2)-(x_2-x_0)\}\{(x_2-x_0)-(x_0-x_1)\}

$ =(x_0-2x_1+x_2)(x_1-2x_2+x_0)(x_2-2x_0+x_1)

$ =-2(x_0^3+x_1^3+x_2^3)+(1+1+3\cdot(-2)-8)x_0x_1x_2

$ +(1-2+4)(x_0x_1^2+x_0^2x_1+x_1x_2^2+x_1^2x_2+x_2x_0^2+x_2^2x_0)

$ \color{red}\therefore(X-Y)(Y-Z)(Z-X)=-2(x_0^3+x_1^3+x_2^3)-12x_0x_1x_2

$ \color{red}+3(x_0x_1^2+x_0^2x_1+x_1x_2^2+x_1^2x_2+x_2x_0^2+x_2^2x_0)\quad\cdots{(\star})

$ (x_0-x_1)^3+(x_1-x_2)^3+(x_2-x_0)^3=3(x_0x_1^2-x_0^2x_1+x_1x_2^2-x_1^2x_2+x_2x_0^2-x_2^2x_0)

$ =3(x_0-x_1)(x_1-x_2)(x_2-x_0)

$ \color{#f0f}\therefore X^3+Y^3+Z^3=3XYZ

$ ({\color{#0c0}X+Y+Z})^3={\color{#f0f}X^3+Y^3+Z^3}+6XYZ+3(XY^2+X^2Y+YZ^2+Y^2Z+ZX^2+Z^2X)

$ 0=9XYZ+3(XY^2+X^2Y+YZ^2+Y^2Z+ZX^2+Z^2X)

$ \color{#0cf}\therefore XY^2+X^2Y+YZ^2+Y^2Z+ZX^2+Z^2X=-3XYZ

$ 9{\color{#f0f}X^2Y^2Z^2}=({\color{#f0f}X^3+Y^3+Z^3})^2=X^6+Y^6+Z^6+2(X^3Y^3+Y^3Z^3+Z^3X^3)

$ \color{#f80}\therefore X^3Y^3+Y^3Z^3+Z^3X^3=\frac92X^2Y^2Z^2-\frac12(X^6+Y^6+Z^6)

部品が集まったので代入していく

$ 4\cdot27^2(a^3+c-3ab)^2=\{-2(x_0^3+x_1^3+x_2^3)-12x_0x_1x_2

$ +3(x_0x_1^2+x_0^2x_1+x_1x_2^2+x_1^2x_2+x_2x_0^2+x_2^2x_0)\}^2_{\color{red}\star}

$ =\{(X-Y)(Y-Z)(Z-X)\}^2

$ =(X^2-2XY+Y^2)(Y^2-2YZ+Z^2)(Z^2-2ZX+X^2)

$ =\{({\color{#0c0}X+Y})^2-4XY\}\{({\color{#0c0}Y+Z})^2-4YZ\}\{({\color{#0c0}Z+X})^2-4ZX\}

$ =(Z^2-4XY)(X^2-4YZ)(Y^2-4ZX)

$ =X^2Y^2Z^2-4({\color{#f80}X^3Y^3+Y^3Z^3+Z^3X^3})+16XYZ({\color{#f0f}X^3+Y^3+Z^3})-64X^2Y^2Z^2

$ =X^2Y^2Z^2-4\left\{\frac92X^2Y^2Z^2-\frac12(X^6+Y^6+Z^6)\right\}+16XYZ(3XYZ)-64X^2Y^2Z^2

$ =X^2Y^2Z^2-18X^2Y^2Z^2+2(X^6+Y^6+Z^6)+48X^2Y^2Z^2-64X^2Y^2Z^2

$ =-33X^2Y^2Z^2+2(X^6+Y^6+Z^6)

$ \therefore 27^2(a^3+c-3ab)^2=-\frac{33}4X^2Y^2Z^2+\frac12(X^6+Y^6+Z^6)

$ \frac{27}{4}C^2=\frac{27}{4}(x_0-x_1)_{=X}(x_1-x_2)_{=Y}(x_2-x_0)_{=Z}

$ =\frac{27}{4}X^2Y^2Z^2

$ 27^2(2b-a^2)^3=\{x_0x_1+x_1x_2+x_2x_0-x_0^2-x_1^2-x_2^2\}^3_{\color{blue}\star}

$ =(XY+YZ+ZX)^3

$ =X^3Y^3+Y^3Z^3+Z^3X^3

$ +3(X^2Y^3Z+X^3Y^2Z+Y^2Z^3X+Y^3Z^2X+Z^2X^3Y+Z^3X^2Y)+6X^2Y^2Z^2

$ ={\color{#f80}X^3Y^3+Y^3Z^3+Z^3X^3}+3XYZ({\color{#0cf}XY^2+X^2Y+YZ^2+Y^2Z+ZX^2+Z^2X})+6X^2Y^2Z^2

$ =\frac92X^2Y^2Z^2-\frac12(X^6+Y^6+Z^6)-3X^2Y^2Z^2

$ =\frac32X^2Y^2Z^2-\frac12(X^6+Y^6+Z^6)

$ 27^2(a^3+c-3ab)^2+\frac{27}4C^2=\left\{-\frac{33}4X^2Y^2Z^2+\frac12(X^6+Y^6+Z^6)\right\}+\frac{27}{4}X^2Y^2Z^2

$ =-\frac32X^2Y^2Z^2+\frac12(X^6+Y^6+Z^6)

$ =27^2(2b-a^2)^3

4次方程式

$ r_0=x_0+x_1+x_2+x_3=-4a

$ r_1=x_0+\omega x_1+\omega^2x_2+\omega^3x_3=x_0+ix_1-x_2-ix_3

$ r_2=x_0+\omega^2x_1+x_2+\omega^2x_3=x_0-x_1+x_2-x_3

$ r_3=x_0+\omega^3x_1+\omega^2x_2+\omega x_3=x_0-ix_1-x_2+ix_3

解は

$ x_0=-a+\frac{\sqrt{u}}2+\frac{i}2\sqrt{3u-12\beta+8\gamma u^{-\frac12}}

$ x_1=-a-\frac{\sqrt{u}}2+\frac{i}2\sqrt{3u-12\beta-8\gamma u^{-\frac12}}

$ x_2=-a+\frac{\sqrt{u}}2-\frac{i}2\sqrt{3u-12\beta+8\gamma u^{-\frac12}}

$ x_3=-a-\frac{\sqrt{u}}2-\frac{i}2\sqrt{3u-12\beta-8\gamma u^{-\frac12}}

色んな値を求めると

$ r_1=(x_0-x_2)+i(x_1-x_3)=(-a+i\sqrt{u-4{\color{red}\bull_+}})+i(-a+i\sqrt{u-4{\color{blue}\bull_-}})

$ r_2=(x_0+x_2)-(x_1+x_3)=2\sqrt{u}

$ r_3=(x_0-x_2)-i(x_1-x_3)=(-a+i\sqrt{u-4{\color{red}\bull_+}})-i(-a+i\sqrt{u-4{\color{blue}\bull_-}})

$ r_1+r_3=2i\sqrt{u-4{\color{red}\bull_+}}

$ r_1+r_3=2(x_0+x_2)

$ r_1-r_3=2i\sqrt{u-4{\color{blue}\bull_-}}

$ r_1-r_3=2(x_0-x_2)

$ \frac14\left(\frac12r_2+\frac12(r_1+r_3)\right)\left(\frac12r_2-\frac12(r_1+r_3)\right)=\frac14\{u-(u-4{\color{red}\bull_+})\}=\color{red}\bull_+

$ \frac14\left(\frac12r_2+\frac12(r_1-r_3)\right)\left(\frac12r_2-\frac12(r_1-r_3)\right)=\frac14\{u-(u-4{\color{blue}\bull_-})\}=\color{blue}\bull_-