カルダノの公式

3次方程式の解の公式

$ =\left(x+a\right)^3-3a^2x-a^3+6bx+2c

$ =\left(x+a\right)^3+3\left(2b-a^2\right)x-a^3+2c

$ =\left(x+a\right)^3+3\left(2b-a^2\right)(x+a)-a^3-3(2b-a^2)a+2c

$ =\left(x+a\right)^3+3\left(2b-a^2\right)(x+a)+2a^3-6ab+2c

$ \qquad\chi=x+a,\beta=2b-a^2,\gamma=a^3-3ab+c)

$ =\chi^3+3\beta\chi-2\gamma

$ \qquad\chi=u+v

$ =(u+v)^3+3\beta(u+v)-2\gamma

$ =u^3+v^3+3uv(u+v)+3\beta(u+v)-2\gamma

$ =u^3+v^3-2\gamma+3(uv+\beta)(u+v)

$ \Leftarrow\left\{\begin{matrix}u^3+v^3-2\gamma=0\\uv+\beta=0\end{matrix}\right.

修正したとしてもこれで全解網羅できるのかという疑問は残るけども。

$ \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u^3+v^3=2\gamma\\u^3v^3=-\beta^3\end{matrix}\right.

$ t^2-2\gamma t-\beta^3=0

$ u^3=\gamma+\sqrt{\gamma^2+\beta^3}

$ v^3=\gamma-\sqrt{\gamma^2+\beta^3}

$ u=\omega^k\,^3\sqrt{\gamma+\sqrt{\gamma^2+\beta^3}}

$ v=\omega^{-k}\,^3\sqrt{\gamma-\sqrt{\gamma^2+\beta^3}}

$ \chi_k=\omega^k\,^3\sqrt{\gamma+\sqrt{\gamma^2+\beta^3}}+\omega^{-k}\,^3\sqrt{\gamma-\sqrt{\gamma^2+\beta^3}}

$ x_k=-a+\omega^k\,^3\sqrt{a^3-3ab+c+\sqrt{\left(a^3-3ab+c\right)^2+\left(2b-a^2\right)^3}}

$ +\omega^{-k}\,^3\sqrt{a^3-3ab+c-\sqrt{\left(a^3-3ab+c\right)^2+{\left(2b-a^2\right)}^3}}

大事なのは、二次方程式の解の公式が三乗根の中に含まれること

つまり、二次方程式の求解問題に落とし込む作業が大事。

対称性に関する考察

解は次のように書ける

$ x_0=-a+\,^3\sqrt{\gamma+\sqrt{D}}+\,^3\sqrt{\gamma-\sqrt{D}}

$ x_1=-a+\omega\,^3\sqrt{\gamma+\sqrt{D}}+\omega^2\,^3\sqrt{\gamma-\sqrt{D}}

かなり興味深い係数が現れる

幾何学的解釈したいけどまだできてない