フィボナッチ数
$ F_{0}=0, \; F_{1}=1, \; F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} \; (n\ge0)
漸化式より$ F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}であり、$ n<0に対する$ F_{n}も漸化的に定義可能である
$ F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n} \; (n\ge0)となる
具体的な値をいくつか書くと
$ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, \dotsc
フィボナッチ数の一般項は次式で表される（この式は$ n\in\mathbb{Z}に対して有効） $ F_{n}= \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \right\}
証明が気になる方は、例えば以下のブログを参照のこと
専門誌が約60年間にわたって発行を続けられるほど、フィボナッチ数は奥が深い数学的対象
そんなにかけることがあるのか基素.icon
何かもう一つくらい定理を紹介したいけれど、簡単なもの/簡単ではないがよく知られているものだと面白くない...hatori.icon
そこで、あまり知られておらず証明もそれほど簡単ではなく、そして見た目のインパクトがあるものを紹介したい
以下で述べられている結果の詳細については、下記の論文およびその参考文献を参照のこと
コメント：$ \zeta_{F}(s)は$ \mathbb{C}上の有理型関数に解析接続可能 定理：以下が成り立つ
1. $ \zeta_{F}(2),\zeta_{F}(4),\zeta_{F}(6)は$ \mathbb{Q}上代数的に独立である 2. $ u=\zeta_{F}(2), v=\zeta_{F}(6)とおく。任意の整数$ s\ge4に対してある有理数$ c_{s}が存在し$ \zeta_{F}(2s) - c_{s}\zeta_{F}(4) \in \mathbb{Q}(u,v)となる。特に$ sが奇数のときかつそのときに限り$ c_{s}=0である。また$ u,vに関する有理関数は明示的に与えることができる
コメント：念のために補足すると$ \mathbb{Q}(u,v)は$ \mathbb{Q}上の2変数有理関数体を意味する
上記2の具体例
$ \begin{aligned} &\zeta_{F}(8)-\frac{15}{14}\zeta_{F}(4) \\ &= \frac{256u^{6} -3456u^{5} +2880u^{4} +1792u^{3}v -11100u^{3} +20160u^{2}v -10125u^{2} +7560uv +3136v^{2} -1050v}{378(4u+5)^{2}} \end{aligned}
$ \begin{aligned} \zeta_{F}(2) &= 2.4263207511672411877 \dotsc, \\ \zeta_{F}(4) &= 2.0767308505655853486 \dotsc, \\ \zeta_{F}(6) &= 2.0170647763311634763 \dotsc, \\ \zeta_{F}(8) &= 2.0040612866478266026 \dotsc . \end{aligned}
一般に$ \zeta_{F}(2n)\;(n\ge1)は超越数である なお$ \zeta_{F}(1)=3.3598856662431775532\dotscは無理数であることが知られているが、超越数かどうかは未知である $ \zeta_{F}(2n+1) \; (n\ge1)については無理数かどうかすら知られていない