テンソル積を略そう

注

数学は同期コミュニケーションに向いてなさそう

そもそも興味のある人がどれだけいるか不明

資料だけ書いといて、非同期にコメント入れる感じにしようと思います

m階テンソルとn階テンソルから、m+n階テンソルを作る演算子

この定義はだいぶ理解しにくい

既存の記法からの変更点

利点

スカラー積

$ k\pmb{a}=\pmb{b}

0階+1階=1階

$ k\pmb{A}=\pmb{B}

0階+2階=2階

テンソル積

$ \pmb{a}\pmb{b}=\pmb A

1階のテンソル同士をかけると、2階のテンソルが作られる

階数の減少に注目すると、スカラー積とテンソル積の性質が酷似している事がわかる

ただし、可換性は成立しない

dot積と行列積は実質同じ演算

隣り合う要素同士を縮約してるだけ

$ \pmb{a}\cdot\pmb{b}=c

1-1+1-1=0

$ (\pmb{a}\pmb{b})\cdot\pmb{c}=\pmb{a}(\pmb{b}\cdot\pmb{c})

2-1+1-1=1

$ (\pmb{a}\pmb{b})\cdot(\pmb{c}\pmb{d})=(\pmb{b}\cdot\pmb{c})(\pmb{a}\pmb{d})

2-1+2-1=2

$ (\pmb{a}\pmb{b}\pmb{c})\cdot\pmb{d}=(\pmb{a}\pmb{b})(\pmb{c}\cdot\pmb{d})

3-1+1-1=2

$ (\pmb{a}\pmb{b}\pmb{c})\cdot(\pmb{d}\pmb{e})=(\pmb{c}\cdot\pmb{d})(\pmb{a}\pmb{b}\pmb{e})

3-1+2-1=3

$ \left(\prod_{0\le i\le m}\pmb{a}_i\right)\cdot\left(\prod_{0\le j\le n}\pmb{b}_j\right)=(\pmb{a}_m\cdot\pmb{b}_0)\left(\prod_{0\le i\le m-1}\pmb{a}_i\right)\left(\prod_{1\le j\le n}\pmb{b}_j\right)

m-1+n-1=m+n-2

$ \prod_{0\le i\le m}\pmb{a}_i=\underbrace{\pmb a_0\pmb a_1\cdots\pmb a_m}_{m+1\text{vectors}}

2重縮合：4階減少

$ (\pmb{a}\pmb{b}):(\pmb{c}\pmb{d})=(\pmb{a}\cdot\pmb{c})(\pmb{b}\cdot\pmb{d})

2-2+2-2=0

$ (\pmb{a}\pmb{b}\pmb{c}):(\pmb{d}\pmb{e})=\pmb{a}(\pmb{b}\cdot\pmb{d})(\pmb{c}\cdot\pmb{e})

3-2+2-2=1

$ (\pmb{a}\pmb{b}\pmb{c}\pmb{d}):(\pmb{e}\pmb{f})=(\pmb{a}\pmb{b})(\pmb{c}\cdot\pmb{e})(\pmb{d}\cdot\pmb{f})

4-2+2-2=2

$ (\pmb{a}\pmb{b}\pmb{c}\pmb{d}):(\pmb{e}\pmb{f}\pmb{g})=(\pmb{a}\pmb{b}\pmb{g})(\pmb{c}\cdot\pmb{e})(\pmb{d}\cdot\pmb{f})

4-2+3-2=3

$ \left(\prod_{0\le i\le m}\pmb{a}_i\right):\left(\prod_{0\le j\le n}\pmb{b}_j\right)=(\pmb{a}_{m-1}\cdot\pmb{b}_0)(\pmb{a}_{m}\cdot\pmb{b}_1)\left(\prod_{0\le i\le m-2}\pmb{a}_i\right)\left(\prod_{2\le j\le n}\pmb{b}_j\right)

m-1+n-1=m+n-2

dotが一つ増えるごとに、2階減少する

3重縮合：6階減少

...

n重縮合：2n階減少

いくつかの演算法則が直感的になる

結合法則が成立すると見なせる

tensor積の定義の見た目がわかりやすくなる

これより

$ \pmb a\pmb b\cdot\pmb c

と括弧を外して書いても問題ないことがわかる

デメリット

しかしこれは高階のtensorに拡張できない

$ \pmb\sigma={\cal\pmb C}:\pmb\varepsilon

どうしても4階tensorが必要になる

課題

疑問

行列積と内積は、どちらも隣り合う添字を縮約するという演算

区別する必要がない

(存在する記法も構築はできると思う)

$ A^\top_{ij}=A_{ji}

$ {A^\top}^{ij}=A^{ji}

$ {{A^\top}_i}^j\neq{A_j}^i

$ {{A^\top}_i}^j={A^j}_i

これならOK

$ \begin{pmatrix}a_0&a_1&\cdots& a_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{00}&A_{01}&\cdots& A_{0n}\\A_{10}&A_{11}&\cdots& A_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{n0}&A_{n1}&\cdots& A_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_0\\b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}

(正規直交基底で成分表示した場合)

と転置しなければ計算できません

しかし、添字記法では

$ a_iA_{ij}b_j

と表され、vectorを転置させる必要がありません

行列計算に変換するときは転置が必要だが、それ以外では必要ない

クロス積はどうだろう。そもそも使わない可能性もある？

他のテンソル解析の文献でもそうしてる

なおこのページの主目的からはズレるので「定義」ではなく「性質」と言い換えると編集労力は少なそう

この記法を使っている既往の文献

かなり古いテキスト

ゼロ年代以降の書籍

だれか指摘してくれ～

自明と言うと証明を読者に委ねても問題ないくらい簡単、のニュアンスがある

ドット積 (別名 内積、スカラー積など)

$ \begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_0\\b_1\\b_2\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}a_0&a_1&a_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_0\\b_1\\b_2\end{pmatrix}}_\text{行列積を使用}=a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2

階数が2階減ってスカラーになる

テンソル積

$ \begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}b_0\\b_1\\b_2\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_0&b_1&b_2\end{pmatrix}}_\text{行列積を使用}=\begin{pmatrix}a_0b_0&a_0b_1&a_0b_2\\a_1b_0&a_1b_1&a_1b_2\\a_2b_0&a_2b_1&a_2b_2\end{pmatrix}

ベクトル(=1階テンソル)とベクトルから行列(=2階テンソルに対応)ができた

テンソル積を使えば、低階のテンソルから高階のテンソルを作り出せる

もしなければその説明もします