337をガウス整数の積に分解する

337は68番目の素数である

複素数に拡張したら割れるかな？

$ (a+bi)(c+di)\in\R

$ \iff ad+bc=0

行列式だとわかりづらいか

$ \begin{dcases}ad+bc=0\\ac-bd=337\\a,b,c,d\in\Z\end{dcases}

これが解ければいい

方針

とりあえず変数を一つ減らせるな。そこまでやってから考えてみるか？

ざっと暗算したら行けそうだったのでやってみる

$ \begin{dcases}ad=-bc\\adc-bd^2=337d\\a,b,c,d\in\Z\\d\neq0\end{dcases}\lor\begin{dcases}b=0\lor c=0\\ac=337\\a,b,c\in\Z\\d=0\end{dcases}

$ \begin{dcases}ad=-bc\\-b(c^2+d^2)=337d\\a,b,c,d\in\Z\\d\neq0\end{dcases}

$ \begin{dcases}ad=-bc\\-b((ac)^2+(ad)^2)=337a^2d\\a,b,c,d\in\Z\\d\neq0\land a\neq0\end{dcases}

$ \iff \begin{dcases}ad=-bc\\c(a^2+b^2)=337a\\a,b,c,d\in\Z\setminus\{0\}\end{dcases}

途中計算

$ -b((ac)^2+(bc)^2)=-337abc

$ \iff c^2(a^2+b^2)=337ac

$ \iff c(a^2+b^2)=337a

$ \xcancel{\forall x\in\Z;0\le x^2\ \mathrm{mod}\ 377\le 19}

$ \xcancel{\because 19^2<377<20^2}

もうだめだあ……

これってもしかして解が存在しない？

$ \because 0\le (a^2\ \mathrm{mod}\ 377)+(b^2\ \mathrm{mod}\ 377)\le 19+19=38<337

問題：

$ \forall p\in\Bbb{P}(\exist a,b,c,d\in\Z\setminus\{0\}(p=(a+bi)(c+di))\iff Q(p))

任意のGauss整数ではなく、任意の素数がGauss整数の2つ以上積で表せることを示したい

$ \Z_c:=\text{Gauss整数}=\{z\in\Bbb{C}|\exist a,b\in\Z;z=a+bi\}

$ \Bbb{P}_c:=\text{Gauss素数}\subset \Z_c

なおここまで意地でもwikipediaみてない

さすがに齟齬が生じそうだから、変な意地張らないで読むか

単数以外の2つ以上のGauss整数の積で書けるかということ？

まだ証明はばれてないから大丈夫

どうせどこかで根負けして答え見るだろうし

極形式ver

$ 337 = re^{i\theta} \cdot se^{i\phi} = rse^{i(\theta + \phi)} \ (r,s \geq 0)

$ \begin{dcases} rs = 337 \\ \theta + \phi = 2n\pi \ (n \in \Z) \end{dcases}

解は無数にある

半径から解の存在範囲を絞り込める？

整数と相性悪そうだし、無理そう？

絶対値は違ってていい

16と9は互いに素なので、整数倍の解はなく、解はこれだけか

$ \Z_c:=\text{Gauss整数}:=\{z\in\Bbb{C}|\exist a,b\in\Z;z=a+bi\}

$ \text{Gauss素数}:=\{p\in\Z_c|\forall z\in\Z_c((\exists k\in\Z_c;p=kz)\implies z=p,\pm1,\pm i)\}

ググりなしの縛りで解いていたので、名前を調べられなかったのです

苦し紛れに「整数係数の複素数」と書いていた

書き直しました

調べていただきサンクスなのです