関数と添え字の使い分け
数式で関数を使うときと添え字を使うときの使い分けが分からん
添字を使うと配列に見えるけど、配列は実際は関数の定義を満たすから関数として書いても良い
基本的に関数であるということが大事になるような式変形をしない限り添字で良いんじゃないかと思う
微分する対象は関数
でも添字で微分の式を書いたら新たな扉を開けそうな気もする
新しい記号や属性を付与するときに添え字を使うから、あると便利な記法ではあるtakker.icon
例：物体$ Aの速度を$ \pmb v_Aとする
これは任意の物体を定義域にとる関数と見なせなくもない
実際、連続体力学では任意の粒子を初期位置での位置ベクトル$ \pmb Xで表して、$ \pmb\phi(\pmb X,t)のように粒子を引数に使って物理量を表す
$ \pmb Xを物質点、$ \pmb\phiを運動と呼ぶ
例：コンクリートの設計圧縮強度$ f'_{cd}
$ fは強度を表すのによく使う文字
$ _cはconcrete
$ _dはdesign(設計)
$ 'は圧縮を正にとるパラメタにつける記号
通常、ひずみや応力は引張を正にする
コンクリートは引張強度がカスで、圧縮側の強度を持たせる役割しか力学上もたない
圧縮が大事なので、圧縮を正にしている
この例を関数と解釈することは可能だが、添え字の方がずっと書きやすいしわかりやすそう
そう。だから逆に添字でいいのにわざわざ関数で書いてる場合が気になるSummer498.icon
例えばカルマンフィルタの解説で状態遷移を$ \bm s(t+1)=M\bm s(t)と表現するよりも$ \bm s_{t+1}=M\bm s_tと表現したほうが分かりやすいのに前者で書いてあるとか
上の連続体力学の例は$ \bm Xや$ tで微分とかすることもあるんかな～って感じがする
バリバリ微分します。というかそれが連続体力学の展開の根幹をなしますtakker.icon
$ \frac{\partial\pmb\phi}{\partial t}($ =\dot{\pmb\phi})は物質点(粒子)の速度を表す
流体などでは、流体粒子一つ一つ追跡する方法より、ある空間上の1点の物理量を調べることが圧倒的に多い
例：管路にpitot管を取り付けて、ある位置における流速を計測する
空間上の位置を$ \pmb xとすると、$ \pmb x=\pmb\phi(\pmb X,t),\pmb X={\pmb\phi}^{-1}(\pmb x,t)と表せる
空間上の任意の位置$ \pmb xでの流速$ \pmb v(\pmb x,t)は
$ \pmb v(\pmb x,t)=\dot{\pmb\phi}({\pmb\phi}^{-1}(\pmb x,t),t)
と表される
$ \pmb Xを使って物理量を表現する方法を物質表示、$ \pmb xを使って物理量を表現する方法を空間表示と呼ぶ
任意の物理量$ \pmb\theta(\pmb x,t)の、物質点上の時間変化を知りたいときに物質微分$ \frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}を使う
$ \frac{\mathrm D\pmb\theta}{\mathrm Dt}=\left.\frac{\partial\pmb\theta(\pmb\phi(\pmb X,t),t)}{\partial t}\right|_{\pmb X={\pmb\phi}^{-1}(\pmb x,t)}
$ = \frac{\partial\pmb\theta}{\partial t}+\left.(\pmb\nabla\pmb\theta)\right|_{\pmb X={\pmb\phi}^{-1}(\pmb x,t)}\cdot\dot{\pmb\phi}({\pmb\phi}^{-1}(\pmb x,t),t)
$ =\frac{\partial\pmb\theta}{\partial t}+(\pmb v\cdot\pmb\nabla)\pmb\theta
変形前の物体の微小vector$ \mathrm d\pmb Xは変形後の物体の微小vector$ \mathrm d\pmb xに
$ \mathrm d\pmb x=\pmb\nabla\pmb\phi\cdot\mathrm d\pmb X
という式で変換される。
$ \pmb F:=\pmb\nabla\pmb\phi=\frac{\partial\pmb\phi}{\partial\pmb X}を変形勾配tensorと呼び、連続体の変形を表す基礎的なtensorとなる
物質座標$ \pmb Xと空間座標$ \pmb xの相互変換
ひずみの記述
$ \pmb Fには回転操作も含まれているので、極分解で変形操作のみを取り出したりする
読み間違えてたかも。「上の連続体力学の例は$ \bm Xや$ tで微分とかすることもありそうだから、関数で書くのも自然かなって感じがする」という意味でしたか？takker.icon
$ \bm s(t+1)=M\bm s(t)のほうがわかりやすいときもあると思うtakker.icon
函数であることを強調したい
添字に複雑な式を入れたい
微分っぽく差分方程式を書きたい
$ \varDelta\bm s:=\bm s(t+1)- s(t)として$ \varDelta\bm s=(M-1)\bm sと表したり
いろんな値が代入される可能性があるかないか？yosider.icon
でも配列はいろんな値が代入されうるか
$ 0, 1, ..., n
添字集合としてどんな集合も取れたはずだから、そこは関数の引数と条件は変わらないかもSummer498.icon
されうるかというより、実際によく代入されるかどうかと言うほうが正確yosider.icon
+1Summer498.icon
複雑な値が代入されることが想定されるかどうか？yosider.icon
うーん
やはり可読性だなぁSummer498.icon
でも$ n-m+1みたいな添字もあるしなぁ
整数はわざわざ関数の引数みたいには書かない気がする
定義域が$ \Zのときは添字で記述しがちtakker.icon
わかるnishio.icon