コンパクト - 井戸端

コンパクト

まずはよく見知った実数空間$ \Rで話をしようや

最大値・最小値の存在

$ Iを有界な閉区間とする: $ I=\lbrack a,b\rbrack

$ f:I\to\Rを連続関数とする

このとき$ fは$ I上で最大値、最小値を持つ

別ページでやりたい人がやってみてねん

次にある程度見知ったユークリッド空間$ \R^Nで話をしようや

部分集合$ D\sub\R^Nが有界であるとは

$ Dがある開球$ B_N(0,r)に含まれること: $ D\sub B_N(0.r)

ただし、$ B_N(0,r)=\{x\sub\R^N|\|x\|\le r\}

部分集合$ Dが閉集合$ \Leftrightarrow補集合$ \R^N\setminus Dが開集合

$ Uが開集合

全ての点$ x\in Uに対してある開球$ B(x,r)が存在して、

$ B(x,r)\sub U

備考: 境界を含むとこの式が満たされなくなることを確認せよ

$ \R^Nの集合族$ \{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}が$ D\sub\R^Nの開被覆であるとは、

全ての$ U_\lambdaが開集合であり、$ D\sub\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda

開被覆$ \{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}の有限部分集合$ \{u_n\}_{n\in\N}で集合$ D\sub\R^Nを覆い尽くせたならば

$ \{u_n\}_{n\in\N}を$ \{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}の有限部分被覆と呼ぶ

部分集合$ D\sub\R^Nがコンパクトであるとは、

$ Dの任意の開被膜$ \{U_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}に対して、

その有限部分被膜$ \{U_n\}_{n\in\N}が存在すること

Heine-Borelの被覆定理

$ D\sub\R^Nとする

$ Dがコンパクト$ \Leftrightarrow$ Dが有界な閉集合

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コンパクト性を用いると最大値の定理がシンプルに証明できるらしい

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