ガロア理論ガバガバ勉強メモ
Tom Leinster によるガロア理論の講義ノートを読んで大事かもな〜と思った内容を雑にメモします。(前提知識とされてた可解群とかは知らなかったので、そういう場合は適宜別の本から引っ張ってくるかもしれません) Chapter 1
共役
数$ z, w\in\mathbb{C}が体$ K上共役とは、任意の$ K係数多項式$ p(X)\in K \lbrack X\rbrackに対して、
$ p(z)=0 \iff p(w)=0
が成り立つことをいう。
また、数の2つの組$ (z_1, z_2,\dots,z_n), (w_1, w_2, \dots, w_n)\in\mathbb{C}^nが体$ K上共役であるとは、任意の$ K係数$ n変数多項式$ p(X_1, \dots,X_n)\in K\lbrack X_1, \dots, X_n\rbrackに対して、
$ p(z_1,\cdots,z_n)=0 \iff p(w_1, \dots, w_n) = 0
が成り立つことをいう。
Galois群
$ f\in\mathbb{Q}\lbrack X\rbrack、$ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_kを$ fの相異なる根とする。このとき多項式$ fのGalois群$ \rm{Gal}(f)を
$ \rm{Gal}(f) = \{\sigma\in S_k \mid (\alpha_1,\dots, \alpha_k)\text{ と }(\alpha_{\sigma(1)},\dots, \alpha_{\sigma(k)})\text{ は }\mathbb{Q}\text{ 上共役} \}
によって定義する。
Chapter 2
忠実な作用
群$ Gが集合$ Xに作用しているとする。この作用が忠実であるとは、任意の2つの元$ g, h\in Gに対して、
$ \forall x\in X\ (gx=hx \implies g=h).
が成り立つことをいう。
不動集合
群$ Gが集合$ Xに作用しているとする。このとき$ S\subset Gの不動集合$ \mathrm{Fix}(S)を
$ \mathrm{Fix}(S):=\{x\in X \mid sx=x\ \forall s\in S\}
により定義する。
固定化群と作用の関係
任意の元$ g\in Gに対して
$ \mathrm{Fix} (gSg^{-1})=g\mathrm{Fix}(S)
(証明)
$ \begin{aligned} x\in{\mathrm{Fix}}(gSg^{-1}) &\iff gsg^{-1}x=x\ \forall s\in S \\ &\iff s(g^{-1}x) = g^{-1}x\ \forall s\in S \\ &\iff g^{-1}x\in\mathrm{Fix}(S) \\ &\iff x\in g\mathrm{Fix}(S).\hspace{1.5em} \square \end{aligned}
互いに素
$ Rを単位的可換環(以降、環と言ったら単位的可換環を指すことにする)とする。環$ Rの元$ r, s\in Rが
$ \forall a\in R\ (a\mid r \text{ and } a\mid s \implies a \text{は単元})
を満たすとき$ rと$ sは互いに素 (coprime) という。
$ Rが PID のとき
$ r, s\in Rが互いに素$ \iff \langle r, s\rangle = R
等化子 (equalizer)
$ X, Yを集合とし、$ S\subset\{\text{map }X\to Y\}とする。このとき$ Sのequalizer$ \mathrm{Eq}(S)を
$ \mathrm{Eq}(S):=\{x\in X \mid \forall f, g \in S,\ f(x)=g(x)\}
により定める。
$ X, Yが体で$ Sが$ Xから$ Yへの準同型写像の族の時、$ \mathrm{Eq}(S)は$ Xの部分体になる。
体準同型は単射
$ K, Lを体、$ \varphi:K\to Lを環準同型とする。このとき$ \varphiは単射。
(証明)
$ \varphi:K\to Lを体の間の環準同型とする。$ 0\neq a\in Kを取ると $ f(a)f(a^{-1}) = f(aa^{-a})=f(1)=1より$ f(a)^{-1} = f(a^{-1})、すなわち$ f(a)は単元。よって$ 0\neq a\in\ker \varphiとすると$ f(a) =0となり$ f(a)が単元であることに矛盾。よって$ \ker \varphi = 0。$ \square
準同型と体の標数
$ \varphi:K\to Lを体の準同型とする。このとき$ Kと$ Lの標数$ \mathrm{char}Kと$ \mathrm{char}Lは等しい。
(証明)
$ \mathbb Zは$ \mathbf{Ring}の始対象であるから、環準同型$ f:\mathbb Z\to K,\ g:\mathbb Z\to Lが一意的に存在する。このとき、$ \mathrm{char}K = |\mathbb Z/\ker f|,\ \mathrm{char} L=|\mathbb Z/\ker g|。$ gの一意性から次の図式は可換である。
https://gyazo.com/ee0fbfcf651000e12ae22d96fe4b1882
そして今、$ \varphiは単射だから$ \ker \varphi f=\ker g。ゆえに
$ \mathrm{char} L = |\mathbb Z/\ker g| = |\mathbb Z/\ker \varphi f| = |\mathbb Z/\ker f| = \mathrm{char}K.\hspace{1.5em}\square
素体
$ Kを体とする。$ Kの部分体全ての共通部分を素体と言う。
素体の種類
$ Kを体、$ pを素数、$ \mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/\langle p\rangleとする。
$ \mathrm{char}K = 0のとき、$ Kの素体は$ \mathbb{Q}と同型。
そうでないとき、すなわち$ \mathrm{char}K = pのとき、素体は$ \mathbb{F}_pと同型。
特に有限体の標数は正である。
(証明)
・$ \mathrm{char}K = 0のとき
$ \mathrm{char}K = 0とする。よって$ \forall n\in Z, n\cdot 1_K \neq 0。ゆえに
$ \varphi:\mathbb{Q}\ni m/n\mapsto (m\cdot1_K)/(n\cdot 1_K)\in K
は well-defined で体準同型である。$ \varphiは単射なので$ K\underset{\text{field}}{\supset} \varphi(\mathbb Q) \cong \mathbb Q。ここで$ \mathbb Qは真の部分体を持たないこと、および$ Kの素体は同型を除いて唯一つであることから $ \varphi(\mathbb Q)が$ Kの素体である。
・$ \mathrm{char}K = p>0のとき
$ \mathrm{char}K=p>0とすると$ pは素数である。一意的な準同型 $ f:\mathbb Z\to Kに対し$ \ker f=\langle p\rangleである。よって$ K\underset{\text{field}}{\supset}f(\mathbb Z)\cong \mathbb F_p。$ \mathbb F_pは真の部分体を持たず、$ Kの素体は同型を除いて唯一つであることから$ f(\mathbb Z)が$ Kの素体である。$ \square
Frobenius 写像
$ Rを標数が$ pの環とする。この時、写像$ \theta:R\to R\ ;\ r \mapsto r^pを Frobenius 写像と言う。
Frobenius 写像は環準同型であり、特に$ Rが体の時$ \thetaは同型写像になる。
単項イデアル整域の既約元
$ Rを単項イデアル整域とし、$ 0\neq r\in Rとする。このとき
$ r \text{は既約元} \iff R/\langle r\rangle \text{は体}
特に$ rは素元である。
Chapter 3
多項式環の普遍性
$ R, Bを環とする。この時、任意の準同型$ \varphi:R\to Bと$ b\in Bに対して、
$ \begin{aligned}\theta(a)&=\varphi(a)\ \forall a\in R, \\ \theta(X)&=b\end{aligned}
を満たすような準同型$ \theta:R\lbrack X\rbrack\to Bがただ一つ存在する。
多項式環の普遍性から
準同型$ \varphi:R\to Sから誘導される準同型$ \varphi_*:R\lbrack X\rbrack\to \lbrack S\rbrack;$ \varphi_*(X)=X,\ \varphi_*(a)=\varphi(a)\ \forall a\in R
rにおける値$ \mathrm{ev}_r:R\lbrack X\rbrack\to R;$ \mathrm{ev}_r(X)=r
の一意的な存在が保証される。
また、一次変数変換$ X = Y - c\ \ (c\in R)により引き起こされる準同型が同型写像であることもわかる。よって、
$ f(X)\text{が既約}\iff f(X-c)\text{が既約}.
多項式の素元分解
$ Kを体とし、$ 0\neq f\in K\lbrack X\rbrackとする。このとき、ある$ n\geq 0と$ a\in K、既約なモニック多項式$ f_1,f_2,\dots, f_n\in K\lbrack X\rbrackによって、
$ f=af_1f_2\cdots f_n
と分解できる。さらに、$ nと$ aは$ fによって一意的に定まり、$ f_1,\dots,f_nは順番の違いを除いて一意的である。
代数的閉体
定数でない全ての多項式が少なくとも一つの根を持つ体を代数的閉体と言う。代数的閉体$ K上の多項式$ fは最高次係数$ cと相異なる根$ a_1,\dots,a_kを用いて
$ f(X)=c(X-a_1)^{m_1}\dots(X-a_k)^{m_k}
と分解できる。
既約多項式の判定①
$ Kを体とし、$ f\in K\lbrack X\rbrackとする。
$ fが定数の時$ fは既約でない
$ \deg(f)=1ならば$ fは既約
$ \deg(f)\geq2で$ fが根を持つのならば$ fは既約でない
$ \deg(f)\in\{2, 3\}で$ fが根を持たないのなら$ fは既約
原始多項式
多項式$ fの全ての係数の共通因数が$ \pm1以外ないとき、$ fは原始的であるという。
$ \mathbb{Z}上既約$ \implies\mathbb{Q}上既約
$ \mathbb{Z}上の多項式が$ \mathbb{Z}において既約ならば、$ \mathbb{Q}においても既約。
既約多項式の判定② (mod p 法)
$ f(X)=a_n X^n + \cdots + a_1 X + a_0 \in \mathbb{Z}\lbrack X\rbrackとする。
このとき、「$ p\not{\mid}\ \ a_nかつ$ \overline{f}\in\mathbb{F}_pは既約」となるような素数$ pが存在するのならば$ fは$ \mathbb{Q}上既約。
既約多項式の判定③ (Eisenstein の既約判定法)
$ f(X)=a_n X^n + \cdots + a_1 X + a_0 \in \mathbb{Z}\lbrack X\rbrackとする。
このとき、
$ p\not{\mid}\ \ a_n
$ i=0,\dots,n-1に対し$ p\mid a_i
$ p^2 \not{\mid}\ \ a_0
を満たす素数$ pが存在するのならば$ fは$ \mathbb{Q}上既約。
Eisenstein の既約判定法の応用
$ pを素数とし、$ \Phi_p(X)=1+X+\cdots+X^{p-1}=\frac{X^p-1}{X-1}とする。このままでは Eisenstein の既約判定法は使えないが、$ f(X)と$ f(X+1)の既約性が同値なことを思い出せば、
$ \Phi_p(X+1)=\frac{(X+1)^p - 1}{(X+1)-1} = \frac{1}{X}\sum_{i=1}^{p}\binom{p}{i}X^i = p + \binom{p}{2}X+\cdots+\binom{p}{p-1}X^{p-2}+X^p
であり、これは Eisenstein の判定法から既約である。よって$ \Phi_pも既約である。
多項式$ \Phi_pをp次の円分多項式という。
Chapter 4
体の拡大
$ \mathbb{R}は$ \mathbb{C}の部分体と考えられる。一方、$ \mathbb{C}を$ \mathbb{R}^2とみなせる。しかし$ \mathbb{R}は$ \mathbb{R}^2の部分体と言えるかというと微妙なところである。そこで、$ Kが$ Lの部分体なら包含写像$ \iota:K\to Lが単射準同型である(さらに体の間の準同型は自明に単射である)ことを取り出して、次のような定義をする。
$ Kを体とする。$ Kの拡大とは体$ Mと準同型写像$ \iota:K\to Mの組$ (M,\iota)のことである。
$ Mが$ Kの拡大のとき、M:Kと表記する。
添加
$ M:Kを体の拡大とし、$ Y\subset Mとする。このとき$ K\cup Yによって生成される$ Mの部分体を$ K(Y)と表わし、$ Kに$ Yを添加した体と言う。
代数的・超越的
$ M:Kを体の拡大、$ \alpha\in Mとする。$ f(\alpha)=0を満たす$ 0\neq f\in K\lbrack X\rbrackが存在するとき$ \alphaはK上代数的であるといい、そうでないときK上超越的であるという。また、この$ fを$ \alphaのK上の零化多項式という。
最小多項式
$ M:Kを体の拡大、$ \alpha\in Mとする。このとき、ある多項式$ m(X)\in K\lbrack X\rbrackが存在し、
$ \langle m\rangle = \{\alpha\text{の}K\text{上の零化多項式} \}.
$ \alphaが超越的なら$ m=0、代数的なら$ m\neq0である。
$ \alphaが代数的なとき上を満たすモニック多項式(一意的に定まる)$ mを$ \alphaの$ K上の最小多項式と言う。
最小多項式の特徴付け
$ M:Kを体の拡大とし、$ \alpha\in Mは$ K上代数的、$ m(X)\in K\lbrack X\rbrackをモニック多項式とする。次は同値。
$ mは$ \alphaの$ K上の最小多項式
$ m(\alpha)=0かつ$ K上の$ \alphaの任意の零化多項式$ fに対し$ m\mid f
$ m(\alpha)=0かつ$ K上の$ \alphaの任意の零化多項式$ fに対し$ \deg(m)\leq\deg(f)
$ m(\alpha)=0かつ$ mは$ K上既約。
単拡大
体の拡大$ M:Kに対し、ある$ \alpha\in Mが存在して$ M=K(\alpha)となるとき体の拡大$ M:Kは単純であると言う。
単拡大の分類
$ Kを体とする。
1. $ m\in K\lbrack X\rbrackをモニックな既約多項式とする。このとき$ mが最小多項式となるような元$ \alphaによって$ M=K(\alpha)となるような体の拡大$ M:Kが存在する。さらにいえば、$ (M,\alpha)と$ (M', \alpha')がそのような2つの拡大ならば、$ \varphi(\alpha)=\alpha'となるただ一つの同型写像$ \varphi:M\to M'が存在する。
2. $ K上超越的な元$ \alpha\in Mで$ M=K(\alpha)となる体の拡大$ M:Kが存在する。また、1. と同様の一意的な同型写像$ \varphi:M\to M'が存在する。
上の定理により、与えられた体$ Kと任意のモニックな既約多項式$ m(X)\in K\lbrack X\rbrackに対し$ mの根$ \alphaを$ Kに添加することができ、これは明確に体の拡大$ K(\alpha):Kを定義できる。同様のことが$ K上超越的な元に対しても出来る。
Chapter5
拡大次数
体の拡大$ M:Kの次数$ \lbrack M:K\rbrackを$ Mを$ K上の線形空間とみなした時の次元として定義する。$ \lbrack M:K\rbrack < \inftyのとき、拡大$ M:Kは有限であるという。
単拡大の拡大次数
$ K(\alpha):Kを$ K上代数的な元$ \alphaによる単拡大とする。$ \alphaの最小多項式$ m\in K\lbrack X\rbrackに対し$ n = \deg(m)とすると、
$ 1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}
は$ K(\alpha)の$ K上の基底となる。すなわち、$ \lbrack K(\alpha):K\rbrack = n。
塔の法則
$ M:K:Lを体の拡大とする。
1. $ (\alpha_i)_{i\in I}を$ Lの$ K上の基底、$ (\beta_j)_{j\in J}を$ Mの$ L上の基底とする。このとき$ (\alpha_i \beta_j)_{(i, j)\in I\times J}は$ Mの$ K上の基底
2. $ M:Kが有限$ \iff$ M:Lと$ L:Kが有限
3. $ \lbrack M:K\rbrack = \lbrack M:L \rbrack \lbrack L:K \rbrack
塔の法則からの系
1. $ M:L':L:Kを体の拡大とする。$ M:Kが有限なら$ \lbrack L':L\rbrackは$ \lbrack M:K\rbrackを割り切る。
2. $ M:Kを体の拡大とし、$ \alpha_1, \dots, \alpha_n\in Mとする。このとき
$ \lbrack K(\alpha_1,\dots, \alpha_n):K\rbrack = \lbrack K(\alpha_1):K \rbrack \cdots \lbrack K(\alpha_n):K \rbrack
有限生成拡大
体の拡大$ M:Kが有限生成であるとは、ある有限集合$ Y\in Mによって$ M=K(S)が成り立つことをいう。
代数的拡大
体の拡大$ M:Kが代数的であるとは、$ Mの全ての元が$ K上代数的であることをいう。
有限と代数的有限生成
体の拡大$ M:Kに関する次の条件は同値。
1. $ M:Kは有限
2. $ M:Kは代数的で有限生成。
3. $ K上代数的な$ Mの元の集合$ \{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}が存在して$ M=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)となる。
単拡大の有限性
$ K(\alpha):Kを単拡大とする。このとき次の条件は同値。
1. $ K(\alpha):Kは有限
2. $ K(\alpha):Kは代数的
3. $ \alphaは$ K上代数的
代数的数体は体
$ \overline{\mathbb Q} = \{\alpha\in\mathbb C\mid \alpha\text{は}\mathbb Q\text{上代数的}\}とする。このとき$ \overline \mathbb Qは体である。この体$ \overline \mathbb Qを代数的数体と呼ぶ。
(証明)
$ \overline{\mathbb Q} = \{\alpha\in\mathbb C\mid \lbrack \mathbb Q(\alpha):\mathbb Q\rbrack < \infty\}.
また、塔の法則からの系より、全ての$ \alpha, \beta\in\overline \mathbb Qに対して $ \lbrack\mathbb{Q}(\alpha, \beta):\mathbb Q\rbrack \leq \lbrack\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb Q\rbrack\lbrack\mathbb{Q}(\beta):\mathbb Q\rbrack.
今、$ \alpha+\beta\in\overline \mathbb Q(\alpha, \beta)より$ \mathbb Q(\alpha+\beta) \subset \mathbb Q(\alpha, \beta)であるから
$ \lbrack\mathbb{Q}(\alpha + \beta):\mathbb Q\rbrack \leq \lbrack\mathbb{Q}(\alpha, \beta):\mathbb Q\rbrack < \infty.
ゆえに$ \alpha+\beta\in \overline \mathbb Q。$ \alpha\beta\in\overline \mathbb Qも同様。また、全ての$ \alpha\in \overline \mathbb Qに対し、
$ \lbrack\mathbb{Q}(-\alpha):\mathbb Q\rbrack = \lbrack\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb Q\rbrack < \infty
であるから$ -\alpha\in\overline\mathbb Q。$ \alpha^{-1}\in\overline \mathbb Qも同様。
作図可能かどうか云々
拡大次数について考察することで目盛の無い定規とコンパスだけで
与えられた角度を3等分することはできない
与えられた立方体の体積の2倍の立方体を作図することはできない
与えられた円と同じ面積を持つ正方形を作図することはできない
ことが示せる。多分、今後の内容に関係ないけどモチベ上るから興味があったら 5.3 Ruler and compass constructions は是非読むといい
Chapter 6
準同型の拡大
$ \iota:K\to Mと$ \iota':K'\to M'を体の拡大とする。このとき$ \varphi:M\to M'が体準同型$ \psi:K\to K'の拡大であるとは次の図式が可換になる、すなわち$ \varphi\circ \iota = \iota' \circ \psiを満たすことをいう。
https://gyazo.com/4ff7473eea40dae02cf3a77e47fc0c9c
$ \iota, \iota'を包含写像とみなせば、図式が可換であることは「$ \forall a\in K,\ \varphi(a) = \psi(a)」が成り立つことと同値である。
同型な体の単拡大は同型
$ \psi:K\to K'を同型とし、$ K(\alpha):Kを$ K上の多項式$ mが最小多項式であるような元$ \alphaによる単拡大とする。また、$ K'(\alpha):Kを$ \psi_* m($ mの係数が全て$ \psiで送られたもの) が$ K'上の最小多項式であるような元$ \alpha'による単拡大とする。このとき、$ \phi(\alpha) = \alpha'を満たすような同型$ \varphi:K(\alpha)\to K'(\alpha')が唯一つ存在する。
分解体
$ fを体$ M上の多項式とする。$ fがある$ n\geq0,\ \beta,\alpha_1,\dots,\alpha_n\in Mによって
$ f(X) = \beta (X-\alpha_1)\dots (X - \alpha_n)
と表せるとき、$ fは$ Mにおいて分解されるという。
また、体$ Kの拡大$ Mが、$ 0でない$ K上の多項式$ fが$ M上で分解され、$ Mにおける$ fの根$ \alpha_1,\dots,\alpha_nによって$ M=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)となるとき、$ Mは$ fの$ K上の分解体という。
分解体の一意的存在と自己同型
$ fを$ K上の$ 0でない多項式とする。このとき、
1. $ K上$ fの分解体が存在する
2. $ fの任意の二つの分解体は$ K上同型である
3. $ Mが$ K上$ fの分解体のとき
$ (M\text{の}K\text{上の自己同型の数}) \leq \lbrack M:K \rbrack \leq \deg(f)!
上の命題より、多項式$ fの$ K上の分解体が(同型の違いを除いて)一意に存在する。そこでその分解体を$ \mathrm{SF}_K(f)と表すことにする。
分解体の性質
1. $ M:S:Kを体の拡大とし、$ 0\neq f(X)\in K\lbrack X \rbrack、$ Y\subset Mとする。$ Sは$ fの$ K上の分解体とする。このとき$ S(Y)は$ K(Y)上の$ fの分解体。
2. $ f\neq 0を体$ K上の多項式とし、$ \mathrm{SF}_K(f):L:Kを体の拡大とする。このとき$ \mathrm{SF}_K(f)は$ fの$ L上の分解体。
ガロア群
体の拡大$ M:Kに対するガロア群$ \mathrm{Gal}(M:K)を$ Mの$ K上自己同型がなす群として定める。
また、体$ K上の$ 0でない多項式$ fのガロア群$ \mathrm{Gal}_K(f)を$ \mathrm{Gal}(\mathrm{SF}_K(f):K)として定義する。
上の多項式に対するガロア群は Chapter 1 で定義したものと同値になる
また、$ L:Kを体の拡大とし$ 0\neq f\in K\lbrack X\rbrackとする。このとき$ \mathrm{Gal}_L(f)は$ \mathrm{Gal}_K(f)の部分群と同型である。
ガロア群の位数
$ fを$ K上の$ 0じゃない多項式で$ \mathrm{SF}_K(f)において$ k個の異なる根を持つとする。
このとき$ |\mathrm{Gal}_K(f)|は$ k!を割り切る。
Chapter 7
正規拡大
代数拡大$ M:Kが正規であるとは全ての$ \alpha\in Mに対しその最小多項式が$ Mで分解されることをいう。
拡大の有限正規性
$ M:Kを体の拡大とする。このとき次は同値。
$ M:Kは有限次正規拡大
ある零でない$ f\in K\lbrack X\rbrackが存在して$ M=\mathrm{SF}_K(f)
有限正規性の継承
$ M:L:Kを体の拡大とする。$ M:Kが有限次正規拡大なら$ L:Kもそうである。
正規拡大と正規部分群
$ M:L:Kを$ M:Kが有限次正規拡大な体の拡大とする。
1. $ L:Kが正規拡大$ \iff$ \forall \varphi\in\mathrm{Gal}(M:K),\ \varphi L = L
2. $ L:Kが正規拡大なら$ \mathrm{Gal}(M:K)は$ \mathrm{Gal}(M:K)の正規部分群で
$ \frac{\mathrm{Gal}(M:K)}{\mathrm{Gal(M:L)}} = \mathrm{Gal}(L:K)
分離可能
体上の既約多項式がその分解体で重根を持たないとき、その多項式は分離可能であるという。
そして、$ fを零でない体上の既約多項式とすると$ fが分離不可能であることと$ Df=0であることは同値。
また、$ M:Kが代数拡大で$ Mの全ての元の$ K上の最小多項式が分離可能であるとき、拡大$ M:Kは分離拡大という。
分離拡大の可能性
標数が$ 0の体の全ての代数拡大は分離拡大である。
有限体の全ての代数拡大は分離拡大である。
ガロア群の位数
全ての有限次正規分離拡大$ M:Kに対して$ |\mathrm{Gal}(M:K)| = \lbrack M:K\rbrack。
固定部分体と体の拡大
$ Mを体、$ Hを$ \mathrm{Aut}(M)の有限部分群とする。このとき$ |M:\mathrm{Fix(H)}| \leq |H|
(逆の不等式も実は成り立つ; 指標の線形独立性 (英) linear independence of charactors の結果)
正規部分群と正規拡大
$ M:Kを有限次正規拡大とし、$ Hは$ \mathrm{Gal}(M:K)の正規部分群とする。このとき$ \mathrm{Fix}(H)は$ Kの正規拡大。