多胞体の双対
読み：たほうたいのそうつい
英語：dual of polychoron
本当にいつでも双対がとれるのか？
世間に流布する解説はよく「正多面体の双対をとるには、各面の中心をとって……」というが、この方法を一般の多面体に適用しようとすると問題が多い。第一に、面の中心が定義できるとは限らない。第二に、「立方8面体の各面の中心は定義できるが、それをつないでも上手く菱形12面体にならない」といった事例からわかるように、4つ以上の頂点が望みどおりに同一平面上にある保証がない。 どうやら、極集合(polar set)または polar dual というものを使えば、凸多面体については解決できるらしい。
任意の凸多面体の双対をとることができる手法らしい。
凸多面体の内部に双対操作の起点となる勝手な1点 O をとる。また、勝手な正定数 k をとる。
O から各面 P_i へ下ろした垂線の長さが d_i のとき、この垂線を延長した半直線上で O から距離 k/d_i の点を双対多面体の頂点とすればよいのだという。
証明は面倒なのであとで読みます。
文献
Polytope Wiki: Polar set, 日比孝之:『多角形と多面体 図形が織りなす不思議世界』, 講談社〈ブルーバックス〉(2020), 174-184ページ
2次元の格子凸多角形について、極集合（呼び名は与えられない）によって双対を定義している。
日比孝之: 『凸多面体論』, 共立出版(2022), 39-44ページ
一般次元の凸多面体について、極集合によって双対を定義している。