静水圧の導出
考えている地点における重力場の方向を$ z軸とする
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z軸の方向だけを考えているので、x,y軸方向の力は無視する
微小面素$ \mathrm{d}Sは位置に依存していても、結果は同じなので無視
2次以上の微小項になって途中で消える
静水中の微小体積素$ Aに働く力の釣り合いの式は
$ \begin{aligned}&p(z)\mathrm{d}S-p(z+\mathrm{d}z)\mathrm{d}S+(\rho\mathrm{d}z\mathrm{d}S)g=0\\\iff&-\mathrm{d}p(z)\mathrm{d}S+\rho g\mathrm{d}z\mathrm{d}S=0\\\iff&\mathrm{d}p(z)=\rho g\mathrm{d}z\end{aligned}
ここで、1変数函数の微分の式$ \mathrm{d}p(z)=p(z+\mathrm{d}z)-p(z)を使った
差分$ \Delta zを使う場合は、Tayler展開したあと$ (\Delta z)^2以降の項を無視する
さらっと力の釣り合いが成り立つとしたが、これは問題ない
最初から静水中を議論の対象としているので、任意の位置の流速が0であると最初からわかっている
z軸を上向きにとると$ \mathrm{d}p(z)=-\rho g\mathrm{d}zになる
あとは積分して
$ \therefore p(z) = \rho gz+C\ .\mathrm{for}\exists C\in \Bbb{R}
となる。
積分定数$ C、すなわち基準とする圧力の違いで、絶対圧とguage圧という2つの表示方法が存在する