距離空間の収束と位相空間の収束の同等性

$ (a_n\to\alpha\quad(n\to\infty))\iff(d(\alpha,a_n)\to0\quad(n\to\infty))

証明

$ a_n\to\alpha\quad(n\to\infty)

$ \iff\forall N\in\mathcal N(\alpha)\exist n_0\in\N\forall n>n_0:a_n\in N

$ \implies\forall\varepsilon>0\exist n_0\in\N\forall n>n_0:a_n\in B_\varepsilon(\alpha)

$ \because\mathcal N(\alpha)=\{N\in2^X\mid\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(\alpha)\subseteq N\}

$ \iff\forall\varepsilon>0\exist n_0\in\N\forall n>n_0:d(a_n,\alpha)<\varepsilon

$ \iff d(\alpha,a_n)\to0\quad(n\to\infty)

$ \iff\forall\varepsilon>0\exist n_0\in\N\forall n>n_0:a_n\in B_\varepsilon(\alpha)

$ \implies\forall N\in\mathcal N(\alpha)\exist\delta>0:

$ \begin{dcases}B_\delta(\alpha)\subseteq N\\\exist n_0\in\N\forall n>n_0:a_n\in B_\delta(\alpha)\end{dcases}

$ \implies\forall N\in\mathcal N(\alpha)\exist n_0\in\N\forall n>n_0:a_n\in N

$ \underline{\iff a_n\to\alpha\quad(n\to\infty)\quad}_\blacksquare