複素定数分平行移動させたGauss函数の広義積分はGauss積分と一致する
疑問
複素数のshiftは本当に影響しないか？
$ J:=\int_\R e^{-a\left(t\textcolor{orange}{\pm\frac{i\omega}{2a}}\right)^2}\mathrm dt=\sqrt{\frac\pi a}
$ \textcolor{orange}{\pm\frac{i\omega}{2a}}が任意の定数でも同じ値に収束するのか？
ここでは$ \int_\R e^{-a\left(t{\pm\frac{i\omega}{2a}}\right)^2}\mathrm dt=\sqrt{\frac\pi a}であることを、厳密性を犠牲にして解説する
$ J_R:=\int_{|t|\le R} e^{-a\left(t\pm\frac{i\omega}{2a}\right)^2}\mathrm dtとして考察する
$ = \int_{|t|\le R}e^{-a\left(t\pm\frac{i\omega}{2a}\right)^2}\mathrm d\left(t\pm\frac{i\omega}{2a}\right)
$ = \int_Ce^{-at^2}\mathrm dt
複素数なので、単純な不等式で積分範囲を表せない
ここでは積分経路を$ C:=\left\{z\in\Complex{\huge|}\exist |t|\le R;z=t\pm\frac{i\omega}{2a}\right\}
今の自分が知っていることで説明できないtakker.icon
$ = \int_{\pm\frac{\omega}{2a}}^0e^{-a(-R+i\theta)^2}i\mathrm d\theta+\int_{{|t|\le R}}e^{-at^2}\mathrm dt+\int_0^{\pm\frac{\omega}{2a}}e^{-a(R+i\theta)^2}i\mathrm d\theta
$ e^{-at^2}には特異点が存在しないので、始点と終点が等しい任意の経路に置き換えられる ここでは、実軸に戻ってから再び複素平面上に戻る経路に置き換えた
$ \left|\int_{\pm\frac{\omega}{2a}}^0e^{-a(-R+i\theta)^2}i\mathrm d\theta\right|=e^{-aR^2}\left|\int_{\pm\frac{\omega}{2a}}^0e^{-a(-2Ri\theta-\theta^2)}i\mathrm d\theta\right|
$ =e^{-aR^2}\left|\int_{\pm\frac{\omega}{2a}}^0e^{2aRi\theta+a\theta^2}\mathrm d\theta\right||i|
$ =e^{-aR^2}\left|\int_{\pm\frac{\omega}{2a}}^0e^{2aRi\theta}\mathrm d\theta\right|\left|\int_{\pm\frac{\omega}{2a}}^0e^{a\theta^2}\mathrm d\theta\right|
$ =e^{-aR^2}\left|\int_{\pm\frac{\omega}{2a}}^0e^{2aRi\theta}\mathrm d\theta\right|\left|\int_{\pm\frac{\omega}{2a}}^0e^{a\theta^2}\mathrm d\theta\right|
$ =\frac{e^{-aR^2}}{2aR}\left|1-e^{\pm iR\omega}\right|\left|\int_{\pm\frac{\omega}{2a}}^0e^{a\theta^2}\mathrm d\theta\right|
$ \int_{\pm\frac{\omega}{2a}}^0e^{2aRi\theta}\mathrm d\theta=\frac{1}{2aRi}\left(1-e^{\pm iR\omega}\right)
こっからどうやって0に収束するのか示したのかが追いつけなかったtakker.icon
あとで聞く
ここを読めばわかりそう