Gauss積分

$ \int_{\R}e^{-t^2}\mathrm dt=\sqrt\pi

導出

$ \int_{\R}e^{-t^2}\mathrm dt=\sqrt{\int_{\R}e^{-t^2}\mathrm dt\int_{\R}e^{-t^2}\mathrm dt}

$ =\sqrt{\int_{(x,y)\in\R^2}e^{-(x^2+y^2)}\mathrm dx\mathrm dy}

$ =\sqrt{\int_{(r,\theta)\in\R_{\ge0}\times[0,2\pi[}e^{-r^2}r\mathrm d\theta\mathrm dr}

$ =\sqrt{2\pi\int_{\R_{\ge0}}e^{-r^2}r\mathrm dr}

$ =\sqrt{\pi\int_{r\in\R_{\ge0}}e^{-r^2}\mathrm d(r^2)}

$ =\sqrt{\pi(-e^{-\infty}+e^{-0})}

$ =\sqrt\pi

派生

$ \int_{\R}e^{-|a|t^2}\mathrm dt=\sqrt{\frac{\pi}{|a|}}\quad\text{.for }\forall a\in\Complex\setminus\{0\}