無限公理
$ \exist x:(\varnothing\in x\land\forall y\in x:(y\cup\{y\}\in x))
これにより、$ xは
$ \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\},\cdots\}\subseteq x
=にならないことに注意takker.icon
例えば$ \{\{\varnothing\}\}\in xとなる$ xも無限公理を満たすよう構成できるが、明らかに$ \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\},\cdots\}とは等しくない
後続元$ x^+:=x\cup\{x\}による書き換え $ \exist x:(\varnothing\in x\land\forall y\in x:y^+\in x)
$ \{\varnothing,\varnothing^+,\varnothing^{++},\varnothing^{+++},\cdots\}\subseteq x
$ \{\varnothing,\varnothing^+,\varnothing^{++},\varnothing^{+++},\cdots\}の構成方法
$ \cdotsという書き方はZFC公理系で許されていないので、別の方法を採らなければならない 無限公理を満たす集合を適当に採ってきて、$ Iとする
$ \omega:=\{x\in I\mid\forall A:(\varnothing\in A\land\forall y\in A:y^+\in A)\implies x\in A\}とすると、これが$ \{\varnothing,\varnothing^+,\varnothing^{++},\varnothing^{+++},\cdots\}に等しくなる
一意性の証明
無限公理を満たす集合を$ I,Jとする
$ \{x\in I\mid\forall A:(\varnothing\in A\land\forall y\in A:y^+\in A)\implies x\in A\}
$ =\{x\mid x\in I\land\forall A:(\varnothing\in A\land\forall y\in A:y^+\in A)\implies x\in A\}
$ =\{x\mid x\in I\land x\in J\land\forall A:(\varnothing\in A\land\forall y\in A:y^+\in A)\implies x\in A\}
$ \because \varnothing\in J\land\forall y\in J:y^+\in J
$ =\{x\mid x\in J\land\forall A:(\varnothing\in A\land\forall y\in A:y^+\in A)\implies x\in A\}
$ \because \varnothing\in I\land\forall y\in I:y^+\in I
$ =\{x\in J\mid\forall A:(\varnothing\in A\land\forall y\in A:y^+\in A)\implies x\in A\}
References