満管状態の鉛直排水管を流れ落ちる流体の定式化

近似すれば使えるのか？

モデルの定義

https://kakeru.app/2f26b5dff9d06f7c57cdce74d18f3fd0 https://i.kakeru.app/2f26b5dff9d06f7c57cdce74d18f3fd0.svg

立式

保存則

$ \frac12\rho v_0^2+\rho gz_0+p_0=\frac12\rho v_1^2+\rho gz_1+p_1=\frac12\rho v_2^2+\rho gz_2+p_2

$ A_0v_0=A_1v_1=A_2v_2

境界条件とか

$ p_0=p_2=0

大気圧と等しい

$ A_0\gg A_1\land A_0\gg A_2

$ z_0=h+l

$ z_1=l

$ z_2=0

展開

面積の近似式と連続式より、速度比の近似式を求める

$ \frac{v_0}{v_1}=\frac{A_1}{A_0}\approx0

$ \frac12\rho v_0^2+\rho g(h+l)+0=\frac12\rho v_1^2+\rho gl+p_1=\frac12\rho v_2^2+0+0

$ \iff\frac12\rho \left(\frac{v_0}{v_1}\right)^2{v_1}^2+\rho g(h+l)=\frac12\rho v_1^2+\rho gl+p_1=\frac12\rho v_2^2

$ \implies\rho g(h+l)\approx\frac12\rho v_1^2+\rho gl+p_1=\frac12\rho v_2^2

$ \iff\begin{dcases}\rho gh\approx\frac12\rho v_1^2+p_1\\\frac12\rho v_1^2+\rho gl+p_1=\frac12\rho v_2^2\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases} v_2^2\approx2g(h+l)\\\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\frac12\rho v_2^2+\rho gl+p_1=\frac12\rho v_2^2\end{dcases}

これ地点0の情報は関係ない。

排水管の強度がよわよわだと、負圧で管が潰れてしまう

$ \left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\frac12\rho v_2^2+\rho gl<\frac12\rho v_2^2

$ \iff \frac12\frac{v_2^2}{g}\left(1-\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\right)>l

拡大管及び直管だと必ず負圧になる

流出速度を速くすることでも回避できる

地点2が完全に大気に開放されている場合は、空気が入ってくる？

仲吉信人先生は知らないとのこと

guage圧が0になったということは、そこで空気と接触するということ

流体粒子は重力でどんどん加速する

しかし後ろから入ってくる流量が一定なので、後ろは前の流体についていけなくなる

結果、粒子間の間に引張応力が働き、それが負圧として現れる？

前の粒子が後ろの遅い粒子に引っ張られているイメージ

保存則

$ \frac12\rho v_2^2=\frac12\rho {v(z)}^2+\rho gz+p(z)

$ A_2v_2=A(z)v(z)

管路が直管だとすると、

$ K=\frac12\rho{v_2}^2

$ P=-\rho gz<0

出口(地点2)以外で常に負圧

となる

地点1で圧力が不連続になる

粘性も考慮すると、滑らかなグラフとなる