浮心
$ \pmb{r}_B:=\frac{\int_{\pmb{r}\in D'}\rho(\pmb{r})\pmb{r}\mathrm{d}V}{\int_{\pmb{r}\in D'}\rho(\pmb{r})\mathrm{d}V}
$ D': 領域$ Dのうち、考えている流体に沈んでいる部分
$ \rho(\pmb{r}):$ \pmb{r}における流体の密度？
非圧縮性流れを考えているんだから、$ \pmb{r}の函数にしなくていいよね 物体$ Dの密度のことを示しているなら、$ \pmb{r}_Bは$ D'の重心と一致する
流体に沈んでいる部分の領域を、周囲の流体で置換したときの重心と一致する? 物体に働く静水圧の合力の作用点を求めればいいはずだが、それはどうやって求めるのだろうか？ 微小部分に働く浮力の作用点を考えればいいのか
水に置き換えた没水部分を十分に小さな微小部分に切り分けて考えましょう。
この微小部分は水でできています。
$ i番目の微小な部分には大きさ$ dB_iの浮力が働きます。
この浮力の大きさは微小部分に働く重力の大きさ$ m_igに等しく、鉛直上向きに働きます。
微小部分に働く浮力の作用点位置は、体積が十分小さいので、重力と同じく微小部分の重心位置であると考えて良いでしょう。
ここまではわかるtakker.icon
没水部分全体に働く浮力は、この微小部分に働く浮力の合力として与えられます。もちろん重力の大きさも同じです。
$ B=\sum_{i=1}^ndB_i,$ Mg=\sum_{i=1}^nm_ig
没水物体の形状をそのまま水に置き換えた水の塊を考えるとき、浮力と重力は作用方向が異なるだけでその働き方は全く同じです。
したがって重力の作用点位置が重心ならば、浮力の作用点位置も没水物体の形状をそのまま水に置き換えた水の塊の重心位置です。
(注意構造物などの物体の重心位置ではありません。浮力は物体の性質とは無関係で、物体の形状と同じ形状の水の重心位置に作用します。)
この辺がわからないtakker.icon
ここは腰を入れて何度も書いて学ばないとな
ようは重力方向の全静水圧を計算すると、物体の形状を流体で置き換えたときのその流体にかかる重力と一致する $ P_z=\iint_{\pmb{s}\in\partial D_{上}}(-\rho gz)\mathrm{d}\pmb{s}\cdot\pmb{e}_z+\iint_{\pmb{s}\in\partial D_{下}}(-\rho gz)\mathrm{d}\pmb{s}\cdot\pmb{e}_z
いや、そこまでしなくてもいいか
高さzの微小柱の体積を考えればわかる
まあでも厳密に計算するなら上記の定理を使う必要がある
浮力の作用点位置を『浮心』といいます。
導出
References