最大値最小値定理

$ \forall a,b\in\R\forall f:[a,b]\rightarrow\R\exist c,d\in[a,b]\forall x\in[a,b];f(c)<f(x)<f(d)

ただし、$ fは連続函数

連続函数の集合を簡単に表せる記号がほしいなあtakker.icon

連続な実数値函数は有界区間$ [a,b] 内で必ず最大値と最小値が存在するという超基本的な定理

ちぎれてなければ大きいところと小さいところがあるのは直感的にわかる

それを直感ではなく厳密な論理で証明したもの

https://kakeru.app/a388d250525a3d04a436bf246169cb78 https://i.kakeru.app/a388d250525a3d04a436bf246169cb78.svg

閉区間であるのは、境界が最大値・最小値になることがあるから

単調増加写像などでそうなる

https://kakeru.app/bdbf1777f93170913041090939e23c4a https://i.kakeru.app/bdbf1777f93170913041090939e23c4a.svg

証明の方針

有界性定理から導出する

超実数から導出する

$ \Rの上限性質を使う

Reference