断面回転半径

$ k_{cyy}:=\sqrt{\frac{I_{cyy}}{A}}

takker.icon

$ y_c=\frac{\int_A y\mathrm dy\mathrm dz}{\int_A\mathrm dy\mathrm dz}

$ z_c=\frac{\int_A z\mathrm dy\mathrm dz}{\int_A\mathrm dy\mathrm dz}

$ I_{cyy}=\int_A(y-y_c)^2\mathrm dy\mathrm dz

$ I_{czz}=\int_A(z-z_c)^2\mathrm dy\mathrm dz

となります。

ここで統計学の類似する概念と比較すると、

図心：平均

$ \bar{y}=\frac1N\sum_{1\le i\le N}y_i

断面二次モーメント：分散 * データ数

$ {\sigma_{yy}}^2=\frac1N\sum_{1\le i\le N}(y_i-\bar{y})^2

と対応できることがわかります。

さて、図心はそのまま平均に対応できますが、断面二次モーメントは少し違い、正確には

$ \frac{I_{cyy}}{A}=\frac{\int_A(y-y_c)^2\mathrm dy\mathrm dz}{\int_A\mathrm dy\mathrm dz}

が対応することがわかります。

このように、梁理論において分散に相当する物理量は存在するのでしょうか？

Gemini 2.5 Pro.icon

はい、存在します。ご指摘の通り、梁理論において統計学の分散に相当する物理量は断面回転半径 (radius of gyration) の2乗です。

分散に相当する物理量：断面回転半径の2乗

ご自身の考察は非常に鋭く、完全に正しいです。断面二次モーメント $I$ を断面積 $A$ で割った物理量 $\frac{I}{A}$ は、まさに統計学における分散($\sigma^2$)の連続体バージョンと言えます。

この物理量は、断面回転半径 $k$ (または $r$, $i$ とも表記されます) を用いて次のように定義されます。

$$I = A k^2$$

これを変形すると、ご提示の式そのものになります。

$$k^2 = \frac{I}{A} = \frac{\int_A (y-y_c)^2 , dA}{\int_A , dA}$$

つまり、分散に直接対応するのは断面回転半径の2乗 ($k^2$) です。そして、その平方根である断面回転半径 ($k$) は、統計学における標準偏差 ($\sigma$) に相当します。

断面回転半径とは？

断面回転半径 $k$ は、ある軸からの距離を表す幾何学的な量です。物理的には、「もし断面積 $A$ 全体をある一点に集中させるとしたら、元の断面二次モーメント $I$ と同じ値になるのは、回転軸からどれくらいの距離に置いたときか」を示す値です。

$k$ が大きい: 断面積が図心から遠くに分布している（＝曲げや座屈に強い形状）。

$k$ が小さい: 断面積が図心の近くに集中している（＝曲げや座屈に弱い形状）。

統計学とのアナロジー整理

table:_

統計学 (Statistics) 梁理論 (Beam Theory) 式

平均 (Mean) 図心 (Centroid) $\bar{y} \Leftrightarrow y_c$

分散 (Variance) 断面回転半径の2乗 ($k^2$) $\sigma^2 \Leftrightarrow k^2 = \frac{I}{A}$

構造力学における重要性

断面回転半径は、特に柱の座屈 (buckling) を評価する上で非常に重要な役割を果たします。柱の座屈しやすさを示す指標として細長比 (slenderness ratio) $\lambda$ があり、これは以下の式で定義されます。

$$\lambda = \frac{L_k}{k}$$

ここで、$L_k$ は柱の有効座屈長、そして $k$ が断面回転半径です。この細長比が大きいほど、柱は座屈しやすくなります。このように、断面形状が座屈にどう影響するかを直接的に示すパラメータとして、断面回転半径は不可欠な存在です。

takker.icon

ありがとうございます。

Gemini 2.5 Pro.icon

はい、非常に鋭いご質問です。

結論から言うと、断面二次モーメントを断面積で割ったものが「断面回転半径の2乗」という明確な用語を持つのに対し、ご指摘の断面相乗モーメントを断面積で割ったもの ($\frac{I_{cyz}}{A}$) には、広く定着した特定の用語はありません。

統計学とのアナロジーと用語の現状

おっしゃる通り、統計学とのアナロジーは完全に成り立ちます。

table:_

統計学 (Statistics) 梁理論 (Beam Theory) 用語

分散 ($\sigma_{yy}$) $\frac{I_{cyy}}{A}$ 断面回転半径の2乗 ($k_y^2$)

共分散 ($\sigma_{yz}$) $\frac{I_{cyz}}{A}$ （定着した用語なし）

この「共分散」に相当する物理量には、なぜか特定の名前が与えられていないのが現状です。教科書や文献によっては、この概念を説明するために便宜的に「相乗回転半径の2乗 ($k_{yz}^2$)」のような表現を使う例も稀にありますが、これは一般的な用語ではありません。

通常は、「単位面積あたりの断面相乗モーメント (product of inertia per unit area)」のように、そのまま文章で説明されます。

なぜ用語がないのか？（考察）

これは、構造力学における断面相乗モーメント ($I_{yz}$) の使われ方に理由があると考えられます。

1. 主軸の計算がゴール: 断面相乗モーメントが重要になるのは、主に主軸 (principal axes) を見つける場面です。主軸とは、断面相乗モーメントがゼロ ($I_{yz}=0$) になるような図心を通る直交軸のことで、この軸の周りの断面二次モーメント（主断面二次モーメント）が最大値・最小値をとります。

2. $I_{yz}$自体の値が重要: 計算過程では、$I_{yz}$ の値そのものを使い、主軸の傾き ($\theta_p$) を以下の式で求めます。

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2I_{yz}}{I_z - I_y}$$

この計算において、$I_{yz}$ をわざわざ面積 $A$ で割る必要性が薄いため、$\frac{I_{yz}}{A}$ という物理量に独立した名前が与えられなかったと推測されます。

つまり、$\frac{I_{yy}}{A}$ (断面回転半径の2乗) が柱の座屈計算などで「細長比」という形で直接的に使われるのに対し、$\frac{I_{yz}}{A}$ はそのような形で直接使われる場面が少ないのです。

まとめ

あなたの着眼点は非常に正しく、統計学的な視点から見れば「共分散」に対応する美しい物理量です。しかし、残念ながら現在の構造力学の分野では、それに相当する一般的な用語は存在しない、というのが答えになります。

その他の言い回し