整列集合の部分順序集合は整列集合

証明

$ \iff\begin{dcases}(X,\le)\text{は全順序集合}\\\forall A\in2^X\setminus\{\varnothing\}\exist m\in A\forall x\in A:m\le x\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}(X,\le)\text{は全順序集合}\\\forall A\in2^X\forall A'\in2^X\setminus\{\varnothing\}\exist m\in A'\forall x\in A':m\le x\end{dcases}

$ \implies\forall A\in2^X:\begin{dcases}(A,\le)\text{は全順序集合}\\\forall A'\in2^X\setminus\{\varnothing\}\exist m\in A'\forall x\in A':m\le x\end{dcases}

$ \underline{\iff\forall A\subseteq:(A,\le)\text{は整列集合}\quad}_\blacksquare