微小領域を用いた流線方向のBernoulliの定理の導出

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質量収支とエネルギー収支の式を立てる

質量収支

流管の側面に垂直な成分は0なので、側面からの流量は0でいい

密度・微小領域は共に時間変化しないので、微小領域内での質量の湧き出しも考えなくていい

$ \therefore \rho S(s)u\mathrm{d}t=\rho S(s+\mathrm{d}s)u(s+\mathrm{d}s)\mathrm{d}t

$ \iff \rho\mathrm{d}(Su)=0\quad ①

エネルギー収支

$ \therefore \frac12(\rho Su\mathrm{d}t)u^2+(\rho Su\mathrm{d}t)gz+PSu\mathrm{d}t=\frac12(\rho S(s+\mathrm{d}s)u(s+\mathrm{d}s)\mathrm{d}t)u(s+\mathrm{d}s)^2+(\rho S(s+\mathrm{d}s)u(s+\mathrm{d}s)\mathrm{d}t)gz(s+\mathrm{d}s)+P(s+\mathrm{d}s)S(s+\mathrm{d}s)u(s+\mathrm{d}s)\mathrm{d}t

$ \iff \frac12\rho\mathrm{d}(Su^3)\mathrm{d}t+\rho g\mathrm{d}(Suz)\mathrm{d}t+\mathrm{d}(PSu)\mathrm{d}t=0\quad ②

なんか変なことしてないかこれ？

どういう立式だよ

①と②を組む

$ ①\land②

$ \iff\begin{dcases}\rho\mathrm{d}(Su)=0\\Su\frac12\rho\mathrm{d}(u^2)\mathrm{d}t+u^2\frac12\rho\mathrm{d}(Su)\mathrm{d}t+\rho gSu\mathrm{d}z\mathrm{d}t+\rho gz\mathrm{d}(Su)\mathrm{d}t+Su\mathrm{d}P\mathrm{d}t+P\mathrm{d}(Su)\mathrm{d}t=0\end{dcases}

$ \implies Su\frac12\rho\mathrm{d}(u^2)\mathrm{d}t+\rho gSu\mathrm{d}z\mathrm{d}t+Su\mathrm{d}P\mathrm{d}t=0

$ \iff \frac12\rho\mathrm{d}(u^2)+\rho g\mathrm{d}z+\mathrm{d}P=0

$ \iff \mathrm{d}\left(\frac12\rho u^2+\rho gz+P\right)=0

$ \underline{\iff \frac12\rho u^2+\rho gz+P=\rm Const.\quad}_\blacksquare

ここでは密度を一定として扱ったが、密度一定でなくても成立する

$ \iff\rho Su\frac12\mathrm{d}(u^2)\mathrm{d}t+u^2\frac12\mathrm{d}(\rho Su)\mathrm{d}t+\rho Sug\mathrm{d}z\mathrm{d}t+gz\mathrm{d}(\rho Su)\mathrm{d}t+\rho Su\mathrm{d}\left(\frac{P}{\rho}\right)\mathrm{d}t+\frac{P}{\rho}\mathrm{d}(\rho Su)\mathrm{d}t=0

エネルギー収支に連続の式を代入すると

$ \iff\rho Su\frac12\mathrm{d}(u^2)\mathrm{d}t+\rho Sug\mathrm{d}(z)\mathrm{d}t+\rho Su\mathrm{d}\left(\frac{P}{\rho}\right)\mathrm{d}t=0

$ \iff\frac12\mathrm{d}(u^2)+g\mathrm{d}z+\mathrm{d}\left(\frac{P}{\rho}\right)=0

$ \iff\mathrm{d}\left(\frac12u^2+gz+\frac{P}{\rho}\right)=0