微小ひずみtensorの円筒座標成分
$ \begin{pmatrix}\varepsilon_{xx}&\varepsilon_{xr}&\varepsilon_{x\theta}\\\varepsilon_{rx}&\varepsilon_{rr}&\varepsilon_{r\theta}\\\varepsilon_{\theta x}&\varepsilon_{\theta r}&\varepsilon_{\theta\theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_x}{\partial x}&\frac12\left(\frac{\partial u_r}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial r}\right)&\frac12\left(\frac{\partial u_\theta}{\partial x}+\frac1r\frac{\partial u_x}{\partial\theta}\right)\\\varepsilon_{rx}&\frac{\partial u_r}{\partial r}&\frac12\left(\frac{\partial u_\theta}{\partial r}-\frac{u_\theta}{r}+\frac1r\frac{\partial u_r}{\partial\theta}\right)\\\varepsilon_{\theta x}&\varepsilon_{\theta r}&\frac{u_r}{r}+\frac1r\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}\end{pmatrix}
対称行列なので、対角成分は略記した
導出
方針
有限ひずみの定義から1次の項のみを取り出す
$ [\pmb\nabla\pmb u]^{\sf PP}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_r}{\partial r}&\frac{\partial u_\theta}{\partial r}\\\frac1r\frac{\partial u_r}{\partial\theta}-\frac1ru_\theta&\frac1ru_r+\frac1r\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}\end{pmatrix}
$ {\sf P}=(\pmb e_r,\pmb e_\theta)とした
これを円筒座標$ {\sf T}=(\pmb e_x,\pmb e_r,\pmb e_\theta)に拡張する
$ r,\thetaの微分は上の通り
$ xと他の成分との微分は、$ \pmb\nabla=\pmb e_x\frac{\partial}{\partial r}+\pmb e_r\frac{\partial}{\partial r}+\pmb e_\theta\frac1r\frac{\partial}{\partial\theta}を使う
$ [\pmb\nabla\pmb u]^{\sf TT}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_x}{\partial x}&\frac{\partial u_r}{\partial x}&\frac{\partial u_\theta}{\partial x}\\\frac{\partial u_x}{\partial r}&\frac{\partial u_r}{\partial r}&\frac{\partial u_\theta}{\partial r}\\\frac1r\frac{\partial u_x}{\partial\theta}&\frac1r\frac{\partial u_r}{\partial\theta}-\frac1ru_\theta&\frac1ru_r+\frac1r\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}\end{pmatrix}
これの対称成分を取れば題意が求まる