微分形式
ベクトル解析の講義
p.67より微分形式の導入がある
$ \dot{\bm x(t)}=\bm V(\bm x(t))の解$ t\mapsto\bm xをvector場$ \bm x\mapsto\bm Vの積分曲線と呼ぶ 以下、総和規約を使っている
$ U\subseteq\R^nにて、
1-form$ \bm x\mapsto f_i(\bm x)\mathrm d x^i 2-form$ \bm x\mapsto f_{ij}(\bm x)\mathrm d x^i\wedge\mathrm d x^j 3-form$ \bm x\mapsto f_{ijk}\mathrm d x^i\wedge\mathrm d x^j\wedge\mathrm d x^k k-form$ \bm x\mapsto f_{i_1\cdots i_k}\mathrm dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge\mathrm dx^{i_k}
$ \mathrm d x^i,\mathrm d x^i\wedge\mathrm d x^j,\mathrm d x^i\wedge\mathrm d x^j\wedge\mathrm d x^kなどの集合を台とし、$ X^Uを係数体とした線型空間が成立するとする
これらの線型空間での演算法則を認める
$ \mathrm dx^iについて
$ \mathrm dx^i\wedge\mathrm d x^j=-\mathrm d x^j\wedge\mathrm dx^i
ここから$ \mathrm d x^i\wedge\mathrm d x^i=0
$ u\wedge(v+w)=u\wedge v+u\wedge w
$ (u+v)\wedge w=u\wedge w+v\wedge w
$ u\wedge(v\wedge w)=(u\wedge v)\wedge w
$ \forall f\in X^U:(f\cdot u)\wedge v=u\wedge(f\cdot v)=f\cdot (u\wedge v)
$ \mathrm df:=\frac{\partial f}{\partial x^i}\mathrm dx^i
$ \mathrm d(f_{i_1\cdots i_ki_{k+1}}\mathrm dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge\mathrm dx^{i_k}\wedge\mathrm dx^{i_{k+1}})=\mathrm d(f_{i_1\cdots i_ki_{k+1}}\mathrm dx^{i_1}\wedge\cdots\mathrm dx^{i_k})\wedge\mathrm dx^{i_{k+1}}
$ f:V\to X,\varphi:U\to Vとする
$ x^\bullet\in U,y^\bullet\in Vとする
$ y^i=\varphi^i(x^\bullet)とする
$ u:=f_{i_1\cdots i_k}(y^\bullet)\mathrm dy^{i_1}\wedge\cdots\wedge\mathrm dy^{i_k}として、$ uの$ \varphiによる引き戻しを定義する
$ \varphi^* u:=f_{i_1\cdots i_k}(\varphi^\bullet(x^\bullet))\mathrm d\varphi^{i_1}\wedge\cdots\wedge\mathrm d\varphi^{i_k}
$ U,Vの次元は一致していなくて構わない
性質
$ \varphi^*(u+v)=\varphi^*u+\varphi^*v
$ \varphi^*(u\wedge v)=\varphi^*u\wedge \varphi^*v
$ \varphi^*(\mathrm du)=\mathrm d(\varphi^*u)
$ \psi^*\varphi^*u=(\varphi\circ\psi)^*u
vector場$ \bm V=V^i\frac{\partial}{\partial x^i}に対して、その双対$ \bm V^*を
$ \bm Vは双対空間のvector $ \sigma\in\Complex^Uを受け取り双対vectorを返す函数 $ \bm V^*:=V^i\mathrm d x^i
とする