平均流の連続体の力学的エネルギ保存則

Reynolds平均：$ \frac{\overline{\rm D}}{\overline{\rm D}t}\frac12|\overline{\bm v}|^2+\frac{\bm\sigma_T+\overline{\bm\sigma}}\rho:\overline{\bm d}=\bm\nabla\cdot\left(\frac{\bm\sigma_T+\overline{\bm\sigma}}{\rho}\cdot\overline{\bm v}\right)+\overline{\bm f}\cdot\overline{\bm v}

$ \bm\sigma_T：Reynolds応力

Farvre平均：$ \overline\rho\frac{\widetilde{\rm D}}{\widetilde{\rm D}t}\frac12|\widetilde{\bm v}|^2+(\bm\sigma_T+\overline{\bm\sigma}):\widetilde{\bm d}=\bm\nabla\cdot\left((\bm\sigma_T+\overline{\bm\sigma})\cdot\widetilde{\bm v}\right)+\overline\rho\widetilde{\bm f}\cdot\widetilde{\bm v}

導出

$ \rho=\rm const.とする

Reynolds平均した連続体の運動方程式より

$ \frac{\overline{\rm D}\overline{\bm v}}{\overline{\rm D}t}=\frac1\rho\bm\nabla\cdot(\bm\sigma_T+\overline{\bm\sigma})+\overline{\bm f}

$ \implies\overline{\bm v}\cdot\frac{\overline{\rm D}\overline{\bm v}}{\overline{\rm D}t}=\frac1\rho\overline{\bm v}\cdot\bm\nabla\cdot(\bm\sigma_T+\overline{\bm\sigma})+\overline{\bm v}\cdot\overline{\bm f}

$ \underline{\iff\frac{\overline{\rm D}}{\overline{\rm D}t}\frac12|\overline{\bm v}|^2+\frac{\bm\sigma_T+\overline{\bm\sigma}}\rho:\overline{\bm d}=\bm\nabla\cdot\left(\frac{\bm\sigma_T+\overline{\bm\sigma}}{\rho}\cdot\overline{\bm v}\right)+\overline{\bm f}\cdot\overline{\bm v}\quad}_\blacksquare

$ \because\bm\nabla\cdot(\bm A\cdot\bm v)=\bm v\cdot\bm\nabla\cdot\bm A+\bm A:\bm\nabla\bm v

連続体の力学的エネルギ保存則の$ \bm\sigmaを$ \bm\sigma_T+\overline{\bm\sigma}に置き換えて、全ての変数を平均値にしたのと同じ式形になる

Farvre平均した連続体の運動方程式から導出すると：

$ \overline\rho\frac{\widetilde{\rm D}}{\widetilde{\rm D}t}\frac12|\widetilde{\bm v}|^2+(\bm\sigma_T+\overline{\bm\sigma}):\widetilde{\bm d}=\bm\nabla\cdot\left((\bm\sigma_T+\overline{\bm\sigma})\cdot\widetilde{\bm v}\right)+\overline\rho\widetilde{\bm f}\cdot\widetilde{\bm v}

#2025-07-23 14:26:07

#2025-06-22 17:39:43