差分学メモ
差分の種類
$ \Delta_\delta f:=f(x+\delta)-f(x)
$ \triangleleft_\delta f:=f(x+\frac12\delta)+f(x-\frac12\delta)=\Delta_{\frac12\delta} f-\nabla_{\frac12\delta} f
$ \nabla_\delta f:=f(x)-f(x-\delta)=-\Delta_{-\delta}f
忘れた
記号は人によって違うtakker.icon
takker.iconが使いたい記号はまだ微妙に決まっていない
とりあえず仮でいく
2.2
問題設定・立式
https://kakeru.app/718b9b565dc43aee375644a4f4267343 https://i.kakeru.app/718b9b565dc43aee375644a4f4267343.svg
$ S(t+1)=(i+1)(S(t)+A)
$ S(0)=0
と立式される
言葉の意味はどれもわからんが、計算はできるtakker.icon
言葉の意味は、必要になった時に調べればいい。今は調べる時間がない & 知らなすぎて興味が出ない
解く
$ \varDelta S=iS+(i+1)A
$ \iff \varDelta\left(S+\frac{1+i}{i}A\right)=i\left(S+\frac{1+i}{i}A\right)
$ \iff \exist C\in\R;S+\frac{1+i}{i}A=C(i+1)^t
連続関数の場合、和分定数は周期定数になるが、今回は離散的な値だけを考えればいいので、積分定数と同じく定数でおけばいい もっとも、この場合は直接特解にも持っていけたけどtakker.icon
$ \iff S+\frac{1+i}{i}A=(i+1)^t\left(S(0)+\frac{1+i}{i}A\right)
$ \underline{\iff S=(i+1)^t\frac{1+i}{i}A-\frac{1+i}{i}A=\frac{1+i}{i}A((i+1)^t-1)\quad}_\blacksquare
$ i=0の場合を別で解く必要がある
$ \varDelta S=0\cdot S+(0+1)A=A
$ \iff S=At
利子がなければ単調増加する
検算
✅$ S(0)=\frac{1+i}{i}A(1-1)=0
✅$ S(1)=\frac{1+i}{i}A((i+1)-1)=(1+i)A
✅$ i>0\implies S(t)\to\infin\quad(t\to\infin)
立式
https://kakeru.app/61281147d8f3b7e8a9009b4444846ca6 https://i.kakeru.app/61281147d8f3b7e8a9009b4444846ca6.svg
$ P(0)で借り入れた借入金を毎期$ Aだけ返済する 全額返済するまでにかかる期間$ Nを求める
$ \varDelta P=iP-A
$ P(N)=0
方針
$ tを$ 0から$ Nまでで定和分する
解く
利率0の時
$ \varDelta P=-A
$ \iff \varDelta(P+At)=0
$ \implies P(0)+0=0+AN
$ \underline{\iff N=\frac{P(0)}{A}\quad}_\blacksquare
単なる等差数列
利率が0でないとき
$ \varDelta P=iP-A
$ \iff \varDelta\left(P-\frac{A}{i}\right)=i\left(P-\frac{A}{i}\right)
$ \implies P-\frac{A}{i}=\left(P(0)-\frac{A}{i}\right)(i+1)^t
$ \implies 0-\frac{A}{i}=\left(P(0)-\frac{A}{i}\right)(i+1)^N
$ \iff (i+1)^N=-\frac{A}{i}\frac{1}{P(0)-\frac{A}{i}}=\frac{A}{A-iP(0)}
$ \iff N=\frac{\ln A-\ln(A-iP(0))}{\ln(i+1)}
検算
極限チェックは難しいので割愛
どうやったら簡単に計算できるんだろう？takker.icon
$ i\to0で直線のグラフになることは確認できる
$ Nを$ P(0)の函数だとみて微分すると、
$ N'=\frac{\frac{i}{A-iP(0)}}{\ln(i+1)}=\frac{1}{\ln(i+1)}\frac{i}{A-iP(0)}>0
$ \because \ln(A-iP(0))\in\R\implies A-iP(0)>0
$ N''=\frac{1}{\ln(i+1)}\frac{i^2}{(A-iP(0))^2}>0
より、下に凸の単調増加函数だとわかる
また$ N'\to\infin\quad(P(0)\to A/i)だから、毎期の返済額を一定にした場合、借入額が大きくなるに連れて急激に返済完了期が遠ざかることがわかる
コワイ！takker.icon
テキストだと$ N\mapsto Aを求めていた
3.1
https://kakeru.app/ac22625f207c5391b7b10c799350e683 https://i.kakeru.app/ac22625f207c5391b7b10c799350e683.svg
統一しようとしたけどむずい
おいあと1分かよ……また何もできなかった
差分計算の確認
https://kakeru.app/919bdb90490126a807bd3b535a55000b https://i.kakeru.app/919bdb90490126a807bd3b535a55000b.svg
3.3
https://kakeru.app/446c208933088955789e8f4c7e74f942 https://i.kakeru.app/446c208933088955789e8f4c7e74f942.svg
予想
$ S_n^n=1
$ S_{n+1}^{k+1}=S_n^k-nS_n^{k+1}
https://kakeru.app/c8d28cbd3068b37b18590ae4d96871ef https://i.kakeru.app/c8d28cbd3068b37b18590ae4d96871ef.svg
$ S_{n+1}^{k+1}-S_n^k=\eth_nS_n^k+\eth_kS_n^k+\eth_n\eth_kS_n^k
が成立するから、
$ \eth_nS_n^k+\eth_kS_n^k+\eth_n\eth_kS_n^k=-n(S_n^k+\eth_kS_n^k)
$ \iff nS_n^k+\eth_nS_n^k+(n+1)\eth_kS_n^k+\eth_n\eth_kS_n^k=0
となる
このprojectでも、上昇階乗べきをつかった定義に統一しようと思う