完全流体中の物体に働く抗力

モデル

https://kakeru.app/19cb448481dedc3af4061de93e9ea43f https://i.kakeru.app/19cb448481dedc3af4061de93e9ea43f.svg

流れ方向の幅は十分大きいとする

y方向成分は任意

こうしないと側面からの流出を計算できない

x方向は一様だが、y方向は一様でなくてもいい

非圧縮性流れの仮定は不要

導出

連続の式と運動量保存則を立てる

$ \iff \int_{\partial V_2\cup\partial V_4}\rho u_x\mathrm{d}S_x+\int_{\partial V_1\cup\partial V_3}\rho u_y\mathrm{d}S_y=0\tag{1}

流れ断面は流れ方向、側面は垂直方向しか存在しない

$ \iff \int_{\partial V_2\cup \partial V_4}(\rho \pmb{u}u_x\mathrm{d}S_x+p\mathrm{d}\pmb{S})+\int_{\partial V_1\cup\partial V_3}(\rho\pmb{u}u_y\mathrm{d}S_y+p\mathrm{d}\pmb{S})=-D\pmb{e}_x\tag{A}

$ \implies D=-\int_{\partial V_2\cup \partial V_4}(\rho {u_x}^2+p)\mathrm{d}S_x-\int_{\partial V_1\cup\partial V_3}\rho u_xu_y\mathrm{d}S_y\tag{2}

流れ方向だけ取り出した

側面に働く圧力はy方向しかないので消える

条件を入れて指揮を簡略化する

検査領域の幅が十分大きければ、物体による流れの乱れが無視できるほど減衰しているとみなせる

より

$ (1)\land(2)

$ \implies\begin{dcases}D=-U^2\int_{\partial V_2}\rho\mathrm{d}S_x-\int_{\partial V_4}\rho {u_w}^2\mathrm{d}S_x-U\int_{\partial V_1\cup\partial V_3}\rho u_y\mathrm{d}S_y-\int_{\partial V_2\cup \partial V_4}p\mathrm{d}S_x\\U\int_{\partial V_2}\rho\mathrm{d}S_x+\int_{\partial V_4}\rho u_w\mathrm{d}S_x+\int_{\partial V_1\cup\partial V_3}\rho u_y\mathrm{d}S_y=0\end{dcases}

条件を代入した

$ \implies D=-U^2\int_{\partial V_2}\rho\mathrm{d}S_x-\int_{\partial V_4}\rho {u_w}^2\mathrm{d}S_x+U^2\int_{\partial V_2}\rho\mathrm{d}S_x+U\int_{\partial V_4}\rho u_w\mathrm{d}S_x-\int_{\partial V_2\cup \partial V_4}p\mathrm{d}S_x

$ =\int_{\partial V_4}\rho u_w(U-u_w)\mathrm{d}S_x-\int_{\partial V_2\cup \partial V_4}p\mathrm{d}S_x

$ \simeq\int_{\partial V_4}\rho u_w(U-u_w)\mathrm{d}S_x

$ \underline{\therefore D\simeq\int_{S_w}\rho U(U-u_w)\mathrm{d}S_x\quad}_\blacksquare

分析

因みに、y方向の抗力を考えるとこうなる

$ D'=-\int_{\partial V_2\cup \partial V_4}\rho u_xu_y\mathrm{d}S_x-\int_{\partial V_1\cup\partial V_3}(\rho {u_y}^2+p)\mathrm{d}S_y

あー、これ以上は展開できないか。消せるものが存在しない