単純ねじりの境界条件での軸方向応力を求める
このときの$ \sigma_{xx}を求める
単純ねじりなので、端面での軸力と剪断力、曲げモーメントは0になるから
$ \left.\int_A\sigma_{xx}\mathrm dA\right|_{x=0,l}=0\land\left.\int_Ay\sigma_{xx}\mathrm dA\right|_{x=0,l}=0\land\left.\int_Az\sigma_{xx}\mathrm dA\right|_{x=0,l}=0
$ \iff
$ P\int_{A(0)}y\mathrm dA+Q\int_{A(0)}z\mathrm dA+RA(0)=0
$ (Fl+P)\int_{A(l)}y\mathrm dA+(Gl+Q)\int_{A(l)}z\mathrm dA+(Hl+R)A(l)=0
$ P\int_{A(0)}y^2\mathrm dA+Q\int_{A(0)}zy\mathrm dA+R\int_{A(0)}y\mathrm dA=0
$ (Fl+P)\int_{A(l)}y^2\mathrm dA+(Gl+Q)\int_{A(l)}zy\mathrm dA+(Hl+R)\int_{A(l)}y\mathrm dA=0
$ P\int_{A(0)}yz\mathrm dA+Q\int_{A(0)}z^2\mathrm dA+R\int_{A(0)}z\mathrm dA=0
$ (Fl+P)\int_{A(l)}yz\mathrm dA+(Gl+Q)\int_{A(l)}z^2\mathrm dA+(Hl+R)\int_{A(l)}z\mathrm dA=0
$ P^2\int_{A(0)}y^2\mathrm dA-Q^2\int_{A(0)}z^2\mathrm dA+PR\int_{A(0)}y\mathrm dA-QR\int_{A(l)}z\mathrm dA=0
$ P^2\int_{A(0)}y^2\mathrm dA+2PQ\int_{A(0)}yz\mathrm dA+Q^2\int_{A(0)}z^2\mathrm dA=R^2A(0)
重心$ y_c,z_cと断面2次moment tensorを導入する
$ Py_c(0)+Qz_c(0)+R=0
$ (Fl+P)y_c(l)+(Gl+Q)z_c(l)+(Hl+R)=0
$ P(I_{yy}(0)+y_c(0)^2A(0))+Q(I_{yz}(0)+y_c(0)z_c(0)A(0))+Ry_c(0)A(0)=0
$ (Fl+P)(I_{yy}(l)+y_c(l)^2A(l))+(Gl+Q)(I_{yz}(l)+y_c(l)z_c(l)A(l))+(Hl+R)y_c(l)A(l)=0
$ Q(I_{zz}(0)+z_c(0)^2A(0))+P(I_{yz}(0)+y_c(0)z_c(0)A(0))+Rz_c(0)A(0)=0
$ (Gl+Q)(I_{zz}(l)+z_c(l)^2A(l))+(Fl+P)(I_{yz}(l)+y_c(l)z_c(l)A(l))+(Hl+R)z_c(l)A(l)=0
$ P^2I_{yy}(0)+2PQI_{yz}(0)+Q^2I_{zz}(0)+(Py_c(0)+Qz_c(0))^2A(0)=R^2A(0)
$ \left.\begin{pmatrix}y_c&z_c&1\\I_{yy}+y_c^2A&I_{yz}+y_cz_cA&y_cA\\I_{yz}+y_cz_cA&I_{zz}+z_c^2A&z_cA\end{pmatrix}\right|_{z=0}\begin{pmatrix}P\\Q\\R\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
行列式が0になればいいのだが……
$ \det=y_c(I_{yz}+y_cz_cA)z_cA+(I_{yy}+y_c^2A)(I_{zz}+z_c^2A)+(I_{yz}+y_cz_cA)z_cy_cA
$ -(I_{yz}+y_cz_cA)(I_{yz}+y_cz_cA)-(I_{zz}+z_c^2A)y_cAy_c-(I_{yy}+y_c^2A)z_cz_cA
$ = 2y_cz_cA(I_{yz}+y_cz_cA)+(I_{yy}+y_c^2A)(I_{zz}+z_c^2A)
$ -(I_{yz}+y_cz_cA)^2-(I_{zz}+z_c^2A)y_c^2A-(I_{yy}+y_c^2A)z_c^2A
$ = ((y_cz_cA)^2-I_{yz}^2)+(I_{yy}+y_c^2A)I_{zz}-(I_{zz}+z_c^2A)y_c^2A
$ = ((y_cz_cA)^2-I_{yz}^2)+I_{yy}I_{zz}-(y_cz_cA)^2
$ = I_{yy}I_{zz}-I_{yz}^2
つまり、$ x=0,lで$ I_{yy}I_{zz}\neq I_{yz}^2なら$ P=Q=R=F=G=H=0が成立する
どういう条件だ?
$ \begin{pmatrix}I_{yy}&I_{yz}\\I_{yz}&I_{zz}\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}I_{yy}^2+I_{yy}I_{zz}&I_{yz}(I_{yy}+I_{zz})\\I_{yz}(I_{yy}+I_{zz})&I_{zz}^2+I_{yy}I_{zz}\end{pmatrix}=(I_{yy}+I_{zz})\begin{pmatrix}I_{yy}&I_{yz}\\I_{yz}&I_{zz}\end{pmatrix}
$ \det=0のときMohr円の半径は$ \sqrt{\left(\frac12(I_{yy}-I_{zz})\right)^2+I_{yz}^2}=\frac12\sqrt{I_{yy}^2+I_{zz}^2+2I_{yy}I_{zz}}=\frac12|I_{yy}+I_{zz}| つまり、断面2次moment tensorの主値の一方が0になる場合、全ての係数が0にならないということだ
$ \left.\begin{pmatrix}I_{yy}/A+y_c^2&I_{yz}/A+y_cz_c&y_c\\I_{yz}/A+y_cz_c&I_{zz}/A+z_c^2&z_c\\y_c&z_c&1\end{pmatrix}\right|_{z=0}\begin{pmatrix}P\\Q\\R\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
$ \left.\begin{pmatrix}I_{yy}/A&I_{yz}/A&0\\I_{yz}/A&I_{zz}/A&0\\y_c&z_c&1\end{pmatrix}\right|_{z=0}\begin{pmatrix}P\\Q\\R\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
$ \left.\begin{pmatrix}I_{yy}&I_{yz}&0\\I_{yz}&I_{zz}&0\\y_c&z_c&1\end{pmatrix}\right|_{z=0}\begin{pmatrix}P\\Q\\R\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
$ \implies\left.\begin{pmatrix}I_{yy}&I_{yz}\\I_{yz}&I_{zz}\end{pmatrix}\right|_{z=0}\begin{pmatrix}P\\Q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
$ \iff\left.\begin{pmatrix}I_{yz}&I_{zz}\\I_{yz}&I_{zz}\end{pmatrix}\right|_{z=0}\begin{pmatrix}P\\Q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
$ \because \det=0
$ \iff P=-\frac{I_{zz}(0)}{I_{yz}(0)}Q\land Q=s\quad\text{.for }\exist s
$ \iff P=-I_{zz}(0)t\land Q=I_{yz}(0)t\quad\text{.for }\exist t
$ R=-y_cP-z_cQ
なんか相当やっかいなことになっちゃったぞ
ただ最終的に求めたいのは$ \sigma_{xx}=(Fy+Gz+H)x+(Py+Qz+R)だから、これが行列式の値に関わらず0になってくれればいい
……たぶん0にはならないな
どうしたものか
$ Py+Qz+R=Py+Qz-y_cP-z_cQ=P(y-y_c)+Q(z-z_c)
全く同様に計算して、
$ Fl+P=-I_{zz}(l)u
$ Gl+Q=I_{yz}(l)u
$ Hl+R=-y_c(Fl+P)-z_c(Gl+Q)
$ \therefore (Fy+Gz+H)lx=(Fly+Glz-y_c(Fl+P)-z_c(Gl+Q)-R)x
$ =Fl(y-y_c)x+Gl(z-z_c)x+(-y_cP-z_cQ-R)x
$ = Flx(y-y_c)+Glx(z-z_c)
$ = (-I_{zz}(l)u-P)x(y-y_c)+(I_{yz}(l)u-Q)x(z-z_c)
$ = -I_{zz}(l)ux(y-y_c)+I_{yz}(l)ux(z-z_c)-(P(y-y_c)+Q(z-z_c))x
$ \therefore\sigma_{xx}=(Fy+Gz+H)x+(Py+Qz+R)
$ = -I_{zz}(l)ux(y-y_c)/l+I_{yz}(l)ux(z-z_c)/l+(P(y-y_c)+Q(z-z_c))(1-x/l)
$ = -(I_{zz}(0)t(l-x)+I_{zz}(l)ux)(y-y_c)/l+(I_{yz}(0)t(l-x)+I_{yz}(l)ux)(z-z_c)/l\quad\text{.for }\exist u,t
うわー、$ \sigma_{xx}\neq0かよ。最悪だな……
断面2次momentの主値が0になるような断面形状が存在しなければ、こんな事は考えなくていいのだが…… ……考えなくていいのでは?takker.icon
ある断面2次momentの主値が0
$ \iffその主軸を$ y軸としたとき、$ \int_A(y-y_c)^2\mathrm dA=0
$ \iff \forall y\in A;y=y_c
$ \because 被積分函数が常に非負だから、被積分函数が恒等的に0で無い限り積分値が0にならない
$ \iff A=\{y_c\}
つまり、断面が一点集合にならない限り断面2次momentが0になることはない
こんな断面を考えることはないので、主値が0になることはないとしていい
よって$ \sigma_{xx}=0だとしていい
ようやく導出できた