平行軸の定理
導出
1次元の場合はアホほど簡単
$ \begin{aligned}\iint_Az^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z=&\iint_A((z - z_G)+z_G)^2\mathrm{d}y\\=&\iint_A(z-z_G)^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2\iint_Az_G(z-z_G)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+{z_G}^2S_A\\=&I_0+2z_G\cdot z_GS_A-2{z_G}^2S_A+{z_G}^2S_A\\=&I_0+{z_G}^2S_A\end{aligned}_\blacksquare
$ I_0:=\iint_A(z-z_G)^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z: 図心まわりの断面2次moment 途中で$ \iint_Az\mathrm{d}y\mathrm{d}z=z_GS_Aと$ \iint_A\mathrm{d}y\mathrm{d}z=S_Aを使っている
よく見たらこれ平行軸の定理の特殊な場合だった
そのうちページを分けるか
tensorの場合だと少しややこしくなる？っぽい
$ \begin{aligned}\iint_Azy\mathrm{d}y\mathrm{d}z=&\iint_A((z - z_G)+z_G)((y - y_G)+y_G)\mathrm{d}y\\=&\iint_A(z-z_G)(y-y_G)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\iint_Ay_G(z-z_G)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\iint_Az_G(y-y_G)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+{z_G}y_GS_A\\=&I_{zy}+y_G\cdot z_GS_A-y_Gz_GS_A+z_G\cdot y_GS_A-z_Gy_GS_A+z_Gy_GS_A\\=&I_{zy}+z_Gy_GS_A\end{aligned}_\blacksquare
Reference