単一流体の場合の全静水圧の作用点の式
$ z_C=z_G+\frac{I_0}{z_GS}
$ z_C=z_G+\frac{I_0}{z_GS+\frac{p_0}{\rho g}S}
$ S: $ Aの面積
$ I_0:$ Aの重心まわりの断面2次moment
$ \rho: 流体の密度
$ g: 重力加速度
$ p_0: 水面での大気圧
導出
図のようにxyz座標をとる
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次の式を満たす$ z_Cを導出する
$ \iint_Az\times p(z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z = z_C\times P
$ (P=\rho gz_G A)
guage圧で考えている
絶対圧で考えても結果は変わらないだろう
適当に計算できるとこまで計算すると
$ \begin{aligned}&\rho g\iint_Az^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z= z_CP\\\iff&\rho g\iint_Az^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z= z_C\rho gz_GA\\\iff&\iint_Az^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z= z_Cz_GA\end{aligned}
$ \iint_Az^2\mathrm{d}y\mathrm{d}zはy軸周りの断面2次momentである。 $ \iint_Az^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iint_A(z - z_G)^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z+z_G^2A
$ I_0:=\iint_A(z - z_G)^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z
$ \therefore z_C= \frac{I_0}{z_GA}+\frac{z_G^2A}{z_GA}=z_G+\frac{I_0}{z_GA}
定数項を$ Cとすると$ z_C=z_G+\frac{I_0}{z_GS+\frac{p_0}{\rho g}S}となる
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考察
$ z_C=z_G+\frac{I_0}{z_GA}\gt z_Gより$ z_C\gt z_Gが常に成立する
水深が深くなるほど微小面積あたりの力が増えるから、重心より深めの位置に作用点ができるわけだ