中間値の定理 - くたくたじゅうよん

中間値の定理

任意の位相空間$ (X,\mathcal O)上で定義された連結な実連続函数$ f:X\to\Rにて以下が成り立つ

$ \forall a,c\in X:f(a)<f(c)\implies\forall\beta\in]f(a),f(c)[\exist b\in X:\beta=f(b)

証明

連結を使う

狭義の背理法で示す

$ \forall a,c\in X:

$ \begin{dcases}f(a)<f(c)\\\lnot\forall\beta\in]f(a),f(c)[\exist b\in X:\beta=f(b)\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}f(a)<f(c)\\\exist\beta\in]f(a),f(c)[\forall b\in X:\beta\neq f(b)\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}f(a)<f(c)\\\exist\beta\in]f(a),f(c)[:\beta\notin f^\to(X)\end{dcases}